σ代數的等價定義及性質

摘 要: 本文對不同實變函數教材中所涉及的σ代數的定義進行等價性驗證，深入研究σ代數所具有的各種性質，并給出σ代數的一些具體實例幫助學生理解抽象概念。

關鍵詞: σ代數 σ環 等價定義及性質

實變函數理論是現代數學的重要基礎，是現代分析數學誕生的標志之一。它包括集合、點集、測度理論、可測函數、勒貝格積分，以及微分與積分等內容。其中測度理論、可測函數和勒貝格積分是實變函數課程的重點。教師通過該課程的教學，應使學生了解與掌握集合測度的基本思想和基本方法;掌握可測函數的概念與基本性質;了解可測函數列的收斂性，可測函數與連續函數的關系;掌握勒貝格積分的基本思想、基本性質，以及積分極限定理及其應用。

測度理論是實變函數課程的重點內容之一。在測度理論的教學過程中，教師應使學生掌握好R中可測集的各種性質，并理解R中可測集全體所組成的集合類實際上對于很多集合運算都是封閉的，它是R上的一個σ代數。由于σ代數的概念比較抽象，學生理解起來會比較困難。下面我們主要針對幾種不同教材中關于R上σ代數的定義給出等價性驗證，深入探討σ代數的各種性質并給出具體實例幫助學生更好地理解問題。

1.σ代數的等價定義

在涉及實變函數理論的幾種常用教材中(文獻[1—3])，對σ代數所給出的定義不盡相同。為了幫助學生正確理解概念，本文給出幾種定義的等價性證明，從而加深學生對σ代數的認識，為進一步研究σ代數的各種性質做好準備。

定義1[1]:設Ω是R中某些集合所組成的集合類。若R∈Ω，且Ω對于可數并運算和差運算是封閉的，則稱Ω是R上的σ代數。

定義2[2]:設Ω是R中某些集合所組成的集合類，且滿足:

(i)Φ∈Ω;

(ii)若A∈Ω，則A∈Ω;

(iii)若A∈Ω(n=1，2，…)，則A∈Ω，則稱Ω是R上的σ代數。

定義3[3]:設Ω是R中某些集合所組成的非空集合類。若Ω對于有限并運算和余集運算是封閉的，則稱Ω是R上的代數。若Ω是R上的代數并且對于可數并運算封閉，則稱Ω是R上的σ代數。

證明:(1)設Ω滿足定義1中的條件。

由于R∈Ω并且Ω對于差運算封閉，則Φ=R-R∈Ω，且當A∈Ω時，A=R-A∈Ω。又因為Ω對于可數并運算封閉，從而Ω滿足定義2中的條件。

(2)設Ω滿足定義2中的條件。

因為Φ∈Ω，所以Ω是非空集合類。若A∈Ω(n=1，2，…，N)，其中N是正整數。令A=Φ(n=N+1，N+2，…)，由定義2的條件(i)和(iii)可知，A=A∈Ω，故Ω對于有限并運算封閉。又由定義2的條件(ii)和(iii)可知，Ω對于余集運算和可數并運算封閉，因而Ω滿足定義3中的條件。

(3)設Ω滿足定義3中的條件。

由于Ω是非空集合類，所以存在R中集合E∈Ω。因為Ω對于余集運算封閉，故E∈Ω。再由Ω對于有限并運算封閉可知，R=E∪E∈Ω。

若A，B∈Ω，由Ω對于有限并運算和余集運算封閉可得，(A-B)=A∪B∈Ω，從而A-B∈Ω，故Ω對于差運算封閉。

又知Ω對于可數并運算封閉，所以Ω滿足定義1中的條件。

綜上所述，可知定義1、定義2和定義3是彼此等價的。

2.σ代數的性質

在對σ代數進行進一步深入研究的過程中，將會涉及σ代數的很多重要性質，例如σ代數與其它集合運算的關系、σ代數與代數的關系和σ代數與σ環的關系，等等。

性質1:σ代數對于可數交運算是封閉的。

證明:若A∈Ω(n=1，2，…)，則由σ代數對于余集運算封閉可知，A∈Ω(n=1，2，…)。再利用σ代數對于可數并運算的封閉性，則有A=A∈Ω，從而Ω對于可數交運算封閉。

性質2:若Ω是R上的σ代數，則Φ，R∈Ω。

證明:由定義1和定義2直接可得。

性質3:若{Ω}是R上的一族σ代數，則Ω也R上的σ代數。

證明:容易驗證Ω滿足定義1中的條件。

性質4:設Ω是R上的代數，則Ω是R上的σ代數的充分必要條件是Ω對于互不相交的可數并運算封閉，即當E∈Ω(n=1，2，…)且互不相交時，有E∈Ω。

證明:必要性由σ代數對于可數并運算封閉直接可得。

充分性:設A∈Ω(n=1，2，…)，令:B=A，B=A-A，…，B=A-A，…，容易驗證{B}互不相交且A=B。

由于Ω是R上的代數，故Ω對于有限并運算和余集運算封閉，從而B=A∪A∈Ω，則B∈Ω(n=1，2，…)。利用充分性的假設條件:Ω對于互不相交的可數并運算封閉，則有A=B∈Ω。所以Ω對于可數并運算封閉，由定義3知，Ω是R上的σ代數。

性質5:設Ω是R上的代數，則Ω是R上的σ代數的充分必要條件是:若E∈Ω(n=1，2，…)且E?奐E?奐…，則E∈Ω。

證明:必要性由σ代數對于可數并運算封閉直接可得。

充分性:設A∈Ω(n=1，2，…)，令:B=A，B=A∪A，…，B=A，…，

容易驗證B?奐B?奐…且A=B。

由于Ω是R上的代數，故Ω對于有限并運算封閉，從而B∈Ω(n=1，2，…)。利用充分性的假設條件得，A=B∈Ω。所以Ω對于可數并運算封閉，由定義3知，Ω是R上的σ代數。

在文獻中給出了σ環的概念，它與我們所研究的σ代數密切相關。

定義4[4]:設Ω是R中某些集合所組成的非空集合類。若Ω對于差運算和可數并運算是封閉的，則Ω稱是R上的σ環。

注:R上的σ環對于Ω有限交運算和可數交運算都是封閉的。

證明:由于Ω是非空集合類，所以存在R中集合E∈Ω。由Ω對于差運算封閉可知，Φ=E-E∈Ω。

設E∈Ω(n=1，2，…)，由于E=E-E-E，利用Ω對于差運算和可數并運算的封閉性可得E∈Ω，所以Ω對于可數交運算封閉。又因為Φ∈Ω，所以Ω對于有限并運算封閉，同上類似可得Ω對于有限交運算封閉。

性質6:設Ω是R上的σ環，則Ω是R上的σ代數的充分必要條件是R∈Ω。

證明:直接由定義1可得。

3.σ代數的例子

由于σ代數的概念比較抽象，為了讓學生牢固掌握好σ代數的理論，教師需要給出一些σ代數的具體例子以幫助學生深入理解概念。

例1:R中所有子集所組成的集合類是R上的σ代數。

例2:{R，Φ}是R上的σ代數。

例3:R中可測集全體所組成的集合類是R上的σ代數。

例4:Ω={E?奐R|E至多可數或E至多可數}是R上的σ代數。

證明:顯然Φ∈Ω。

若A∈Ω，則A至多可數或A至多可數，所以A∈Ω。

設A∈Ω(n=1，2，…)。若A至多可數(n=1，2，…)，則A至多可數，故A∈Ω;若存在n使得A至多可數，則由A=A?奐A知A至多可數，故A∈Ω。

因而Ω滿足定義2的條件，Ω是R上的σ代數。

例5:若Γ是R上的σ環，則Ω={E?奐R|E∈Γ或E∈Γ}是R上的σ代數。

證明:由于Γ是R上的σ環，故Φ∈Γ，從而Φ∈Ω。

若A∈Ω，則A∈Γ，或A∈Γ，所以A∈Ω。

設A∈Ω(n=1，2，…)。令A=A，B=A，則A=A∪B。由Γ對于有限并和可數并運算封閉可知A∈Γ，由Γ對于有限交和可數交運算封閉可知B=A∈Γ。再利用Γ對于差運算封閉知，A=A∩B=B-A∈Γ，從而A∈Ω。

因而Ω滿足定義2的條件，Ω是R上的σ代數。

例6:若Γ是R上的σ環，則Ω={E?奐R|E∩F∈Γ，?坌F∈Γ}是R上的σ代數。

證明:顯然Φ∈Ω。

若A∈Ω，則A∩F∈Γ，?坌F∈Γ。由Γ對于差運算封閉可知，A∩F=F-A∩F∈Γ，?坌F∈Γ，所以A∈Ω。

設A∈Ω(n=1，2，…)，則A∩F∈Γ，?坌F∈Γ(n=1，2，…)。由Γ對于可數并運算封閉可知，A∩F=(A∩F)∈Γ，?坌F∈Γ，從而A∈Ω。

因而Ω滿足定義2的條件，Ω是R上的σ代數。

參考文獻:

[1]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數與泛函分析基礎(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2003.

[2]周民強.實變函數論(第一版)[M].北京:北京大學出版社，2001.

[3]Gerald B.Folland.Real Analysis;Modern Techniques and Their Applications 2nd ed.[M].北京:世界圖書出版公司北京公司，2007.

[4]陸善鎮，王昆揚.實分析[M].北京:北京師范大學出版社，1997.

資助項目:中國礦業大學(北京)《實變函數》課程建設項目;中國礦業大學(北京)《線性代數》系列課程建設項目。