基于Helmholtz 方程的過渡曲面設計

包崇兵， 韓旭里

（中南大學數學科學與計算技術學院，湖南 長沙 410083）

過渡曲面設計在CAD/CAM 中具有重要的地位。其目的是在相關曲面之間生成光滑的過渡曲面，在數學上，過渡曲面的構造可以看作為如 下問題：給定邊界為Ω? 的有界區域Ω，求解該區域上滿足給定邊界條件的曲面 ( , )u vX 。典型的邊界條件是以X 和它的一些導數在 Ω? 上的 值的形式給出，給定導數的階數取決于過渡曲面與原曲面的連續階。此外，在某些指定的意義下，對過渡曲面還可能有更進一步的要求，如：光滑、不振蕩及與原實體不相交等。

PDE 幾何造型方法的思想就起源于將過渡曲面的構造問題看作一個偏微分方程的邊值問題[1-7]，這種方法簡單易行，只要選定原曲面上的過渡線并計算出過渡線處原曲面的跨界導矢，就可用PDE 方法構造出所需要的過渡曲面，實際應用中，通常在三維歐氏空間構造一張曲面 X =X ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v))表示曲面上的點，x = x ( u , v)是參數 u ,v 的函數，參數( u , v )可以視作平面區域Ω 中的點。X 可以視作由Ω 到三維空間 R3中的映射 X : Ω →R3，當 u ,v 分別為常數時的v線，u 線就定義為曲面上的坐標系。 到目前為止PDE 幾何造型方法主要針對調和方程和類雙調和方程進行研究。

Bloor 等人自20 世紀80 年代將PDE 方法作為一種曲面設計工具引入CAGD 領域以來，對PDE 方法的過渡曲面構造進行了大量的研究，使得該方法可以方便地構造出大量實際問題中的曲面實體。比如：船體、飛機外形、螺旋槳葉片等。國內北京航空航天大學的朱心雄教授等對基于偏微分方程的曲面造型方法開展了研究，并取得了一定的研究成果。然而，到目前為止用偏微分方程進行曲面設計時，人們通常采用如下形式的類調和方程：

二階偏微分方程

其中 Bloor 等的文獻以及國內的一些文獻中， 通常將右端項 ( , )f u v 取為零，而僅通過調節形 狀參數a 及邊界條件來達到調節生成曲面形狀的目的。文獻[1]、[2]中，討論了二階和四階偏微分方程在過渡曲面設計中的應用進行了研究，分別用解析解和數值解的方法進行了求解，并討論了形狀參數a 對過渡曲面形狀的影響。

文獻[8]中討論了Helmholtz 方程的各種解析解的形式及其解的特性，大量文獻研究了 Helmholtz 方程的求解及其在機械工程、聲學、熱能、電磁學等方面的應用。就目前還沒有看到有文獻將Helmholtz 方程應用于幾何造型設計，因此本文給出了如下所示的橢圓型偏微分方程，對其在過渡曲面設計中的應用進行了研究，并討論了形狀控制參數對生成曲面形狀的影響。

Helmholtz 方程

及周期邊界條件

為了得到GC1連續的過渡曲面，將Helmholtz 方程進行如下的擴展，叫做bi-Helmholtz 方程

及周期邊界條件

其中 ( , )u vX 為所求曲面，求解區域Ω= {0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v≤ 2 π}， f0( v )和 f1( v)及0( )g v 和1( )g v 為給定的邊界曲線，0( )s v 和1( )s v 為對應邊界曲線處的跨界導矢，A, B , C , D ,E 為給定的常數。

1 偏微分方程邊值問題的差分解法

偏微分方程邊值問題有諸多數值解法，如差分法、有限元法、邊界元法等，它們有各自的優點和適用范圍，而差分方程最為簡單、適用面廣、易于求解。

對 區 域 Ω= {0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v≤ 2 π}分割：將0 ≤ u≤ 1范圍內的u 軸等分為m 段，每段的長度為： Δu = 1/m；同理將v 軸分割成n段，每 段 長 為： Δv = 2 π /n ，離 散 網 格 點( ui, vj), i =0,1, …, m , j =0,1, … ,n ，對方程（3）進行離散化，其中 ( , )u vX 可以是 , ,x y z 中的任何一個分量。采用中心差分近似，以,i jX表示X ( u , v)在( ui, vj)處的值，對 i =2, …, m?2, j = 2, … , n?2。由于

代入式（3）即得差分方程

在區域Ω 上共有( m ? 2) × ( n? 2)個內點，因此可以建立( m ? 2) × ( n? 2)個方程。但是，當 m ,n 較大時，可以采用迭代方法解決這個問題，迭代法首先把邊界條件變形為如下形式

其中

結合邊界點，可以得到

迭代算法需要迭代初值的先驗知識，采用邊界值的平均作初值具有較好的效果，聯立（5）~（10)和周期邊界條件，可以得到問題的數值解。分別對 , ,x y z 分量求解即可構造出所要曲面。

2 過渡曲面的構造

用偏微分方程邊值的方法來構造過渡曲面，其具體步驟如下：

（1） 首先根據過渡曲面與原曲面之間的連續階來確定合適的偏微分方程。例如：若考慮兩 曲面之間進行0GC 拼接，可采用二階偏微分方 程

若兩曲面之間進行 GC1拼接則需要四階偏微分方程

（2） 確定所需要的過渡曲線，把過渡曲線作為過渡曲面的邊界，然后根據偏微分方程的階數以及原曲面來確定應采用什么樣的邊界條件以及邊界條件值。例如：對二階偏微分方程，可采用未知函數在邊界線上的值作為邊界條件；而對于四階偏微分方程，則采用未知函數在邊界線的值和一階偏導數值作為邊界條件。

（3） 通過解析方法或者數值方法求解偏微分方程來生成過渡曲面。

下面用實例來說明如何通過求解偏微分方程來構造所需的過渡曲面。

2.1 構造GC 0 連續的過渡曲面

考慮( , )u v 平面上一個圓與其上方一個球面的 零 階 過 渡， 假 設 ( u , v )在 區 域Ω = {0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v≤ 2 π}內， ( x , y)平面上的圓以原點為圓心，半徑為R；球的半徑為 r，球心在 (0,0, z0)；取某與平面z = H (0 ≤ H ≤ z0)的交線為過渡線，則其邊界條件如下

選擇二階偏微分方程（11），其邊界條件由 式（13）給出，當r =2, R=3,04z = , H=3, 通過 數值解的方法得到上述問題的解，由于Helmholtz方程具有很好的光滑性，所得過渡曲面也將具有很好的光滑性。如圖1 所示：當參數A 增大時，曲面的形狀由上往下向外部膨脹，當參數B 增大的時候，曲面的形狀向內部收縮，當參數C 增大時，曲面的形狀由下往上向外部膨脹。因此，可以調節參數 , ,A B C 來控制過渡曲面的形狀。

由上可知，不同的參數選取，曲面的形狀有著明顯的變化。在對過渡曲面的拼接處要求不是很高的時候，比如構造上下兩個圓之間的過渡曲面時，選擇GC0連續有著簡潔而計算速度快的優點。當要對兩個曲面進行光滑拼接時，就需要構造GC1連續的過渡曲面。

圖1 過渡曲面

2.2 構造GC1 連續的過渡曲面

用B樣條或Bézier方法構造曲面之間的一階或二階過渡曲面，其控制頂點必須滿足一定的條件。而用PDE方法構造一階連續的過渡曲面，則僅需給定過渡曲面在兩張原始曲面上的邊界及跨界導矢，為了得到GC1連續的過渡曲面，選擇四階的偏微分方程（12），并給出邊界條件和跨界導矢，而后求解偏微分方程即可。

2.2.1 圓柱面和平面上一圓的一階過渡

要求在一個圓柱面和一個圓之間構造一階連續的過渡曲面，圓所在平面的法矢與圓柱的軸不平行。為簡單起見，設圓柱的軸為x 軸，其半徑為r。取圓柱面與平面z H= 的截線為過渡線 之一，另一過渡線取球面 x2+ y2+ z2=R2與平面z Cy= 的交線。則可得邊界條件和邊界切矢 如下

使用方程四階偏微分方程

通過數值解的方法可以得到問題的解，當r=2, H=4, R=2, C=2, s=-2 時，所得曲面如圖2 所示。

圖2 圓柱面斜切面和平面上一圓的GC1 過渡

2.2.2 平面上一圓與其上方一個球面的一階過渡

在2.1 節中討論了( , )u v 平面上一個圓與其上 方一個球面的零階過渡，本節在給出上述邊界條件的基礎上，再給出跨界切矢

選擇四階的偏微分方程（ 12 ）， 當r = 2, R = 3, z0= 4, H = 3時，可得一階過渡曲面如圖3 所示。

3 曲面形狀控制

通過調整邊界條件中的切矢的大小和方向及方程中的系數，可以控制曲面的整體形狀，這種控制不是局部控制，因而不影響曲面的整體美觀性，不過由于采用了數值解法，邊界控制就更加靈活了，在2.1 節中重點討論了方程中的系數對曲面形狀的影響，本節以一個簡明的例子對控制方法加以說明。

構造通過圓心分別為（0，0，0）和（0，0，8），平行于xy 平面的兩個圓的過渡曲面，經適當參數化后可得邊界條件

若 r = R= 0，則所構造曲面即是兩個圓之間的過渡曲面，其他情況是構造自由曲面，本例用以 說明邊界條件對曲面形狀的影響，通過調整,r R 而得到不同形狀的帶狀曲面。如圖4 所示。

4 結 論

本文闡述了二階和四階Helmholtz 方程的一類周期邊界問題的差分解法及其在過渡曲面設 計中的應用，它不同于傳統的PDE 方法中的二階和四階的偏微分方程，比傳統的二階和四階偏微分方程有了更多的自由項。因此，在曲面設計的時候，就有更多的形狀控制參數可進行調整，文中重點討論了方程中的系數對曲面形狀的影響。當對曲面的拼接要求不是很高的時候，可以用二階Helmholtz 方程構造GC0連續的過渡曲面，有著形式簡潔而計算量小的優點，而當需要對曲面進行光滑拼接的時候，則可以用四階的bi-Helmholtz 方程構造GC1連續的過渡曲面。并簡要說明了邊界切矢條件對曲面形狀的影響及其在曲面形狀設計中的應用，由于采用數值解法，可以構造較為復雜的曲面，曲面設計也較為直觀。設計者只需要給出邊界曲線和邊界切矢并通過控制邊界曲線和邊界切矢以便構造和修改曲面形狀。

圖3 平面上一個圓與其上方一個球面的GC1 過渡

圖4 相同邊界不同切矢的不同的GC1 過渡曲面

[1] 馬 玲, 張 鮮, 朱心雄. 用偏微分方程構造過渡曲面[J]. 工程圖學學報, 1995, (1): 1-8.

[2] 馬 玲, 張 鮮, 朱心雄. 用偏微分方程數值解構造過渡曲面[J]. 工程圖學學報, 1995, (2): 8-14.

[3] 朱心雄, 馬 玲. 偏微分方程曲面造型方法及其應用[J]. 航空制造工程, 1997, 176(8): 29-31.

[4] 朱心雄等. 自由曲線曲面造型技術[M]. 北京: 科學出版社, 2000. 256-270.

[5] Bloor M I G, Wilson M J. Generating blend surfaces using partial differential equations [J]. Computer Aided Design, 1989, 21(3): 165-171.

[6] Bloor M I G, Wilson M J. Blend design as a boundary-value problem [C]//Theory and Practice of Geometric Modelling, 1989: 221-234.

[7] Bloor M I G, Wilson M J. Using partial differential equations to generate free-form surfaces [J]. Computer Aided Design, 1990, 22(4): 202-212.

[8] Andrei D Polyanin. Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists [M]. Chapman &Hall/CRC, 2002. 436-456.