斜對稱面檢測在二次曲面體中的應用

王 翔， 丁運亮， 李 靜

（1. 南京航空航天大學航空宇航學院，江蘇 南京 210016； 2. 南京航空航天大學自動化學院，江蘇 南京 210016）

在從二維投影還原三維實體的過程中存在許多重要的幾何特征約束，對稱就是其中的一 個[1]。對稱將三維的自由度降低到二維；可以避免重復約束，因而大大降低了三維重建的難度，此外，對稱還可以克服圖素間的遮擋和互疊問題，即可以通過尋找對稱面來恢復被遮擋部分的實體。因此，對稱問題具有很高的研究價值。

當觀察者從非投影方向觀察對稱時，便產生了斜對稱，圖1 中就是幾個斜對稱的例子，由于大多數情況下（除正投影外）視角均同投影方向有一定的夾角，因而斜對稱是普遍存在的。由于斜對稱是三維世界中的真實對稱在二維情況下的反映，這就將三維中對稱檢測轉化成了二維圖形下的斜對稱檢測。

圖1 斜對稱示例

在斜對稱檢測方面，許多人進行了大量的研究。Oh[2]和Yip[3]采用Hough 變換的方法進行斜對稱檢測，該方法能夠在干擾點存在以及圖形封閉的情況下進行點和曲線的對稱檢測，算法繁瑣。Shen[4]采用仿射不變特征向量法，通過一組仿射不變特征向量來描述圖形的幾何邊界，最終歸結為通過求解相似矩陣來尋找線段（對稱軸）的問題。算法復雜度為O(n2)，其中n 是為計算面積而在邊界上取的特征點數。算法效率有很大提高但是僅限于二維。Yip[5]采用橢圓傅立葉變換描述符對平行投影下的斜對稱進行檢測。該算法對于幾何實體的投影方向要求過于嚴苛，且不允許有遮擋情況存在。Lipson 和Shpitalni 提出了一種簡便有效的檢測方法，通過計算最大權值系數來尋找對稱軸，該算法仍然只適用于2D，無法檢測3D 的斜對稱面。

Zabrodsky[6]將對稱距離引入到了對稱檢測中，其將對稱距離定義為把某一實體變換到對稱位置所需移動的最小距離，其計算方法是取原物體所有的特征點在對稱變換中移動距離的平方的均值，理論上該方法能夠解決3D 空間中的對稱檢測問題，但是龐大的計算量使其無法處理復雜的模型。

Sugimoto[7]提出了自底向上的對稱檢測方法，通過對低維圖素包括直線和曲線的斜對稱軸檢測來實現高維圖形的斜對稱檢測，該算法能夠處理圖素的遮擋和隱藏情況。但是，在曲線檢測部分只給出了橢圓的斜對稱軸檢測方法，在此基礎上，本文將其擴展并給出了任意二次曲線的斜對稱軸檢測方法。

在三維實體斜對稱面檢測方面，Zou[8]從點線面的拓撲關系入手，提出了平面體的斜對稱面檢測方法，但算法覆蓋域僅限于平面體，無法處理二次曲面體。之所以二次曲面體的斜對稱檢測最為復雜，是因為三維空間對稱面檢測歸根到底還是通過平面內的斜對稱軸檢測來實現的，以往的平面斜對稱軸檢測算法最多給出了橢圓線的檢測，而對于像雙曲線、拋物線等復雜的二次曲線則沒有相應的檢測方法。這樣，對于圓柱面等投影為圓或橢圓的規則曲面體，且放置位置固定時，可以用以往的算法加以解決，而對于其他二次曲面體或特殊擺放位置的實體以往算法則不能給出解決的方案。

本文從任意放置的空間二次曲線重建入手，通過計算曲線的參數表示來實現對曲線的類型辨識，再通過擴展改進的斜對稱軸檢測算法對所有面域圖素進行斜對稱軸檢測，最后剔除對稱面內曲線得到對稱面多邊形的邊界，組裝成面即可得到二次曲面體的斜對稱面。

1 面域提取

斜對稱檢測是在獨立的圖素（直線或二次曲線）中進行的，所以要將整個模型分割成獨立的面域。在這一步中需要輸入的是二維頂點的坐標，輸出為一系列獨立的平面或曲面方程，生成的是平面或是曲面則由以下3 種情況決定[9]：

（1） 兩條不共線的直線邊決定一個平面；

（2） 一條直線邊和一條二次曲線邊相交，若直線邊位于曲線邊的支撐平面內，則兩邊確定一個平面，否則對應生成一個二次曲面；

（3） 兩條二次曲線邊相交，若兩曲線邊的支撐平面重合，則兩邊確定一個平面；否則對應生成一個二次曲面。

使用極左鄰邊搜索法[10]即可提取所有表面上的閉環，根據相互間的位置關系如包含或分離確定內環或外環。所有外環和內環間的部分即構成一個面域（見圖2）。

圖2 面域分割

2 預處理

提取得到的面域是一個個獨立的、閉合的多邊形，無法直接對其進行對稱檢測，因此首先要進行一些預處理工作，其中主要包括圖形的分 割[11]和曲線的參數表達式求解。圖形經分割后得到的圖素包括線段和曲線是斜對稱軸檢測算法的直接作用對象，被打斷的圖素只是在連接關系上發生了改變，而其坐標位置和幾何拓撲關系并未改變。不同的曲線類型對應的檢測算法也不相同，因此在檢測前要對得到的曲線進行類別辨識，本文則是通過求解曲線的幾何參數表達式來確定曲線的類型。

2.1 圖形分割

將第一步提取的面域進行分割處理，分割位置為輪廓線段的交點、端點以及曲線的極值點和拐點。相應的判定方法是：交點處線段的連接度大于2；端點處的曲率有急劇的變化；極值點處曲率正負發生改變；拐點則是曲率從零值變為非零值。

分割后的圖素經過曲率檢驗后被分為直線和曲線兩大類。而經過下一步的曲線參數表達式求解之后，曲線將進一步被劃分為橢圓、雙曲線和拋物線等。

2.2 投影曲線參數表達式求解

在計算機的幾何實體表示方法中，二次曲線在二維坐標下一般有參數表達和隱式表達兩種表達方法。因參數表達法具有直觀簡潔的特點，故通常采用更多的是這種表達方法，參數表達法首先需要明確二次曲線的類型，然而在三維重建的問題描述中，投影視圖中的曲線類型是未知量，并且很難用模式識別的方法獲得其幾何參數?；谝陨峡紤]，本文首先采用“五點法”[10]從視圖投影曲線直接構造其一般代數表達式，然后采用解析法將得到的代數表達式轉換成相應類型的幾何參數表達式，為下一步的斜對稱軸檢測做準備。

2.2.1 “五點法”構造投影曲線代數表達式

平面二次曲線的一般代數表達式為

根據定理“給定五點，其中任意三點不共線，那么可以唯一確定一條二次曲線?！痹谕队扒€ 上任意選取滿足要求的 5 個點 Pi( xi, yi) ( i= 1,2,… , 5)，則曲線的代數方程（1）的系數 可以通過求解方程組

確定。其中

令點對 ( pv1, pv2)、( ph1, ph2)、( pw1, pw2)分別表示主、俯、側視圖中的兩投影節點，以S ( pv1, pv2)、 S ( ph1, ph2)、 S ( pw1, pw2)分別表 示各視圖中的兩投影節點間存在的連接線段。這 樣，應用“五點法”，分別由點 pvi∈S ( pv1, pv2)、 phi∈S ( ph1, ph2)、pwi∈S ( pw1, pw2) ( i= 1,2,… , 5)可構造出相應的連接線段S ( pv1, pv2)、 S ( ph1, ph2)、 S ( pw1, pw2)的代數 表達式。

2.2.2 參數表示轉換

轉換后得到的曲線參數：

（1） 曲線的方向角θ

（2） 中心型二次曲線（橢圓、雙曲線）的中心 ( x0, y0)

（3） 中心型二次曲線的長短軸 },{ ba 橢圓

雙曲線

（4） 無心二次曲線（拋物線）的焦距和頂點坐標

焦距

所有數據采用SPSS 24.0統計軟件進行處理，所有檢驗均為雙側檢驗，P＜0.05表示差異有統計學意義。計量資料采用（±s）進行統計描述，兩組間比較采用獨立樣本t檢驗，方差不齊，采用t＇檢驗，多組間比較采用單因素方差分析（F檢驗）。計數資料采用率和頻數進行統計描述，率的比較采用χ2檢驗。尿酸與血壓、血糖等指標的相關分析采用簡單相關分析，因各指標之間也相互關聯，為排除各因素之間的影響，故將尿酸與各指標在簡單相關分析后再控制其他因素進行偏相關分析，如尿酸和身體質量指數進行偏相關分析時，控制因素為收縮壓、舒張壓、空腹血糖、甘油三酯、總膽固醇、高密度脂蛋白膽固醇、低密度脂蛋白膽固醇，依此類推。

其中

頂點坐標 ( x0, y0)

其中

通過以上方法得到曲線的參數表達式以后，也就得到了曲線的類型以及相應的幾何參數，將曲線類型和其對應參數建立數據鏈表以備后續的對稱檢驗算法使用。

3 斜對稱軸檢測

Kanade[13]最早給出了斜對稱的定義：斜對稱是實際的對稱性在投影到圖象平面時產生的，即在2D 圖形中反映的3D 世界中的真實對稱。斜對稱的3 個基本參數為對稱軸方向角、橫斷線方相角以及對稱軸位置。

平面內的斜對稱軸檢測情況一共分為4 種：① 一條曲線；② 一對曲線；③ 一對直線和一條直線；④ 兩對直線。針對第①、③、④種情況已有較成熟的算法，在此不再累述，本文提出的改進算法是針對第②種情況，Sugimoto 的算法只給出了曲線是橢圓的情況，在這里給出其他二次曲線的檢測方法。

3.1 拋物線以及雙曲線的斜對稱軸檢測

對稱軸的位置大體分為兩種情況：一種是位于兩拋物線中間，一種是貫穿兩拋物線。對于第一種情況，檢測算法為：

（1） 連接兩拋物線的焦點1P 和2P ，并取線段1P2P 的中點 0M ，線段1P2P 即為候選橫斷線；

（2） 在拋物線1 上取一系列點ia ，過ia 做線段1P2P 的平行線同拋物線2 交于點ib ，取線段iaib 的中點 iM ，擬合點 iM （i=0,1,2,…）即得到斜對稱軸syL 。如圖3 所示。

圖3 對稱軸位于兩曲線中間

對于第二種情況，檢測算法為：

這種情況下只有一種對稱的可能即對稱軸為兩拋物線焦點的連線。因此，只需連接兩焦點即可得到斜對稱軸。如圖4 所示。

圖4 對稱軸穿過兩曲線

4 斜對稱面的構造

4.1 尋找對稱面多邊形的邊

如果在一個實體的平面投影中存在斜對稱，那么一定可以找到一個或多個斜對稱平面，且這些斜對稱平面一定同實體的邊界或頂點相交，即斜對稱平面在實體內為一個多邊形（見圖5）。因此，如果找到該對稱平面同實體的所有交線，就找到了該多邊形的所有邊，從而就得到了斜對稱平面。Zou[8]的算法是針對平面體的，因此得到的交點要么是實體的頂點，要么是對應邊的中點，并且對稱多邊形的邊均為直線段，本文將實體范圍擴展到了二次曲面體，因此斜對稱面也就相應地擴展到了曲邊多邊形。

圖5 實體中的斜對稱面

考慮到對稱面多邊形的邊要么是某平面的對稱軸，要么是實體的一條真實邊。故把所有檢測到的對稱軸連同實體的邊組成Axes 表，作為對稱面多邊形的邊的候選。同時建立VertexPairs表、CurvePairs 表以及FacePairs 表分別存放對應于對稱軸Axes 對稱的點對、曲線邊對（也包括直線邊）以及面域對。

如圖6 所示，從Axes 表中取出一條邊 iaxes ,假定其中一對對稱邊為1l 和1l′，1f 和1f′則是分別同它們相鄰的面域，如果1f 和1f′中所有的邊界曲線均關于軸 iaxes 對稱，那么面域1f 同1f′關于軸 iaxes 對稱，相應地把1f 和1f′中所有的邊放入 CurvePairs 表中，所有的頂點放入VertexPairs 表 中，把1f 和1f′放入FacePairs 表中，接著選取下一組對稱邊，重復上述過程，如圖中的曲線對2l和，檢測到與它們相鄰的斜對稱面域為 f2和，依次類推，當同CurvePairs 表中的所有元 素相鄰的面域均能在FacePairs 表中找到時，表明滿足斜對稱關系，即該對稱軸位于對稱面多邊形內。下面是一些性質定理，用于算法中錯誤情況的判定，能夠有效地提高算法效率。

圖6 對稱的點、線、面對

性質定理1 某一實體關于一平面呈斜對稱時，該實體的所有表面均應出現在FacePairs 表中，否則說明該實體無斜對稱性。

性質定理2 如果在FacePairs 表中出現了兩個相同的面域，則該面域中一定包含著對稱平面多邊形的一條邊。

性質定理3 在FacePairs 表中的兩個面域相交于一條邊，那么該邊一定是對稱平面多邊形的一條邊。

算法具體步驟如下：

（1） 把檢測到的所有面的對稱軸以及實體的邊界曲線放入Axes 表中；

（2） 選取Axes 表中的一個對稱軸，同時置VertexPairs 表、CurvePairs 表以及FacePairs表為空；

（3） 把找到的關于該對稱軸的曲線對放入CurvePairs 表中；

（4） 按以下三步進行：

1） 從CurvePairs 表中選擇一個新的曲線邊對，當CurvePairs 表中所有曲線邊對均被處理完時，轉入步驟（5）；

2） 對于選中的曲線邊對，檢測其所有相鄰的面域，滿足對稱關系的面域對放入FacePairs表中，相應的邊和頂點存入CurvePairs 表和VertexPairs 表中；

3） 如果沒有任何相鄰面域滿足對稱關系，則該軸不位于對稱面多邊形內，同時轉入步驟（5）；

（5） 如果所有同該軸相鄰的面域均能在FacePairs 表中找到時，說明該軸位于對稱面多邊形內，并將其存入對稱多邊形邊表中，否則刪除該軸，并轉入步驟（2）。

4.2 構造對稱面

上一步中找到的所有的位于對稱面多邊形內部的對稱軸中既包含了對稱面多邊形的邊，同時還有位于多邊形面內的對稱軸，而構造對稱面多邊形只需用到邊界上的直線和曲線，因此需要將位于面內的直線和曲線去除。方法是利用邊界曲線同內部曲線的拓撲性質入手：邊界曲線的交點一定位于實體的邊或者面上；而內部曲線的交點一定位于實體的內部。具體判定準則如下：

（1） 邊為直線情況

1） 如果兩直線的交點坐標滿足實體邊或表面的方程，并且兩直線上的任意一內點滿足實體的表面方程，那么這兩條直線均為對稱面的邊，同時保留。

2） 如果兩直線的交點坐標滿足實體邊或表面的方程，并且其中一條直線的內點滿足實體的表面方程，那么該直線是對稱面的邊，予以保留，另外一條內點不滿足實體表面方程的直線則被去除。

3） 如果兩條直線的交點不滿足實體邊或表面的方程，即兩條直線均為內部直線，同時被去除。

（2） 邊中含有曲線的情況

1） 由于作為對稱面邊界的曲線一定是位于二次曲線面體的曲面部分，故其某一曲線的任意內點坐標均應滿足曲面的參數方程，否則一定不是邊界曲線，去除之。

2） 同被檢測出的邊界曲線相交的直線，其直線的任意內點坐標一定要滿足實體的表面方程，否則被除去。

運用極左鄰邊搜索法[10]提取生成對稱面的方程，加上各個實體表面的方程約束便得到斜對稱多邊形的方程。

5 結果及討論

圖7 中所示的紅線為邊界的平面為使用本算法檢測到的斜對稱面，由于算法對于實體的擺放位置沒有要求，因而可以識別軸線任意放置的二次曲面體。

對稱面的檢測對于三維重建有著十分重要的意義，利用檢測到的二次曲面體的對稱面可以去除多余約束，方便地實現二次曲面實體的三維重建。

圖7 二次曲面體及其檢測到的斜對稱面

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