曲徑通幽辟蹊徑，巧構輔圓妙解題

筆者在二十多年的教學探索中，發現許多問題，若能巧妙構造輔助圓，恰當利用圓的相關性質，往往可迅速溝通題設與結論之間的關系，事半功倍，快速制勝，達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果。下面舉例說明輔助圓的妙用，不當之處請同仁們斧正。

一、利用點與圓的位置關系

設P(x0，y0)，⊙O∶x2+y2=R2;P(x0，y0)在⊙O上#8660;x02+y02=R2;P(x0，y0)在⊙O外#8660;x02+y02 > R2;P(x0，y0)在⊙O內#8660;x02+y02 < R2。

例1，(07全國)已知橢圓 的左、右焦點分別

是F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D，過F2的直線交橢圓

于A、C，且AC⊥BD，垂足為P(x0，y0)。求證: 。

證明:橢圓的半焦距 ，構造以線段F1、F2為直徑的輔助圓:x2+y2=1。

由AC⊥BD交于P知點P在圓x2+y2=1上，故x02+y02=1。

所以， ≤1= 。

二、利用直線與圓的位置關系

設半徑為R的圓圓心到直線l的距離為d，則:d > R#8660;線、圓相離;d = R#8660;線、圓相切;d < R#8660;線、圓相交。

例2，(08全國10)若直線 通過M(cosα，

sinα)，則()。

A、a2+b2≤1B、a2+b2≥1

C、 ≤1 D、 ≥1

解法一:∵M(cosα，sinα)在直線上;

∴ ，即b cosα+a cosα=ab。

∴ (其中 )。

∴ 。

∴ ≤1(利用三角函數有界性)。

∴ ≥1。

解法二:構造一個輔助圓x2+y2=1，注意到M(cosα，sinα)恒在此圓上，由題意知直線恒過單位圓上一點M，即直線與輔圓的關系為相切或相交。

由圓心到直線距離 ≤1;

∴ ≥1，選D。

評注:解法二深入探究隱含條件，巧妙構造單位圓，問題轉化為直線與圓的位置關系，有著“異曲同工”之妙。

例3，(09浙江9)已知三角形的三邊長分別為3、4、5，則它的邊與半徑為1的圓公共點的個數最多()。

A、3 B、4C、5D、6

解析:因為直角三角形的邊長分別為3、4、5，所以該三角形是直角三角形(如圖2)，構造ΔABC的內切圓O，可計算其半徑為1，過O作三條

直線EF、GH、MN分別與

ΔABC三邊平行，記半徑為1

的圓O1的圓心到三條邊AB、

BC、CA距離分別為d1、d2、

d3，而O1在這6個區域時有:

Ⅰ、 (最多4個公共點)

Ⅱ、 (最多2個公共點)

Ⅲ、 (最多4個公共點)

Ⅳ、 (最多2個公共點)

Ⅴ、 (最多2個公共點)

VI、 (最多4個公共點)

而圓O1在線段EF、GH、MN上時，最多有3個公共點，故選B。

評注:此題很好地考查了平面幾何的知識，全面而不失靈活，通過構造內切圓，結合圓的平移，處理方法既平實而又不失靈動。

例4，(09江西16)設直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，對于下列四個命題()。

A、存在一個圓與所在直線相交;

B、存在一個圓與所在直線不相交;

C、存在一個圓與所在直線相切;

D、M中的直線所圍成的正三角形面積都相等。

其中真命題代號是______________(寫出所在真命題的代號)。

解析:注意到點(0，2)到直線xcosθ+(y-2)sinθ=1的距離等于1。因此構造的點(0，2)為圓心，以1為半徑的圓:x2+(y-2)2=1，直線系M可視為輔助圓的所有切線，任意一個以點(0，2)為圓心，小于1為半徑的圓與所在直線都不相交，大于1的數為半徑的圓與所有直線都相交，故選ABC。

三、利用圓與圓的位置關系

設⊙O1、⊙O2半徑分別為R、r(R≥r)，圓心距|O1O2|=d，則:d >R+r#8660;相離;d=R+r#8660;外切;R-r < d < R+r#8660;相交;d=R-r#8660;內切;d < R-r#8660;內含。

例5，(04四川)在坐標平面內，與A(1，2)距離為1，且與點B(3，1)距離為2的直線條數()。

A、1B、2C、3D、4

解析:分別構造以A(1，2)為圓心，半徑為1的圓O1:(x-1)2+(y-2)2=1以B(3，1)為圓心，半徑為2的圓O2:(x-3)2+(y-1)2=4;則所求直線應為兩圓公切線。

此時 。兩圓位置關系為相交，

公切線條數為2，故選B。

四、利用圓的平幾性質

⊙O直徑兩端點A、B，P是平面⊙O任一點，則:P在圓O上(不同于A、B)#8660;∠APB=90°;P在圓O外#8660;∠APB< 90°;P在圓O內#8660;∠APB >90°。

例6，(2000年全國)橢圓 的焦點F1、F2，

點P為其上一動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標取值范圍______。

解析:構造以線段F1F2為直徑的圓(如圖3)x2+y2=5，結合題意知P點應在弧P1P2上及x軸對稱的弧上，聯立橢圓及輔助圓方程:

解得: ， 。

故 。

評述:此題有多種不同解法，如余弦定理處理，何量數量積處理等都比較繁冗，這種構造輔助圓解法獨樹一幟、匠心獨運、輕巧自然，給人以耳目一新的感覺。

例7，(08江西7)見圖4，已知F1、F2是橢圓兩個焦點，滿足 的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率取值范圍()。

A、(0，1)B、 C、 D、

解析:不妨設橢圓方程 ，構造以

F1F2為直徑的圓x2+y2=c2。

由題意知輔助圓內含于橢圓，故c < b。

∴c2 < b2=a2-c2;∴2c2 < a2;∴ ，選C。

五、輔助圓在求軌跡(方程)方面的應用

例8，(08浙江)如圖5，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得ΔABP的面積為定值，則動點P的軌跡()。

A、圓B、橢圓C、一條直線D、兩條直線

解析:過P作PH⊥AB于H，以H為圓心，HP為半徑作一輔助圓，由題意知P在平面α內運動，所以⊙H在平面α的射影(沿BA方向)是一個橢圓(證明從略)，故選B。

例9，如圖6，已知⊙O:x2+y2=R2外一點P(x0，y0)，過P分別作⊙O兩條線切PA、PB，切點A、B，求切點弦AB的方程。

解析:構造四邊形PAOB外接圓，則:

弦AB即為輔助圓與已知⊙O的公共弦。

用“設而不求”的方法將兩圓方程相減得:AB方程x0x+y0 y=R2。

六、輔助圓在代數中的應用

例10，求函數 最大值。

解析:對于此式進行結構聯

想，作變形 知y的幾

何意義就是動點(cos x，sin x)

與(2，0)連線的斜率?！皠又杏?/p>

靜”，構造一個單位圓x2+y2=1，

則動點(cos x，sin x)在單位圓

上運動，如圖7，當動點運動到P(切點)時斜率最大(傾斜

角30°度)，所以 。

總之，我們在解題時，“有圓想圓，無圓生圓”，問題往往會迎刃而解。

〖練 習〗

1.已知A(-1，3)，B(3，1)，點C在坐標軸上，若∠ACB=90°，則符合條件C有幾個()。

A、1B、2C、3D、4

2.(07全國12)設F1、F2分別是雙曲線 的左

右焦點，若點P在雙曲線上，且 則 等

于()。

A、 B、 C、 D、

3.(04湖南)F1、F2是橢圓C: 兩焦點，在

C上滿足PF1⊥PF2，則P點個數。

4.已知拋物線y2 = 2px(p>0)焦點F，過F的直線交拋物于A、B兩點，C為其準線任一點，則∠ACB90°。

5.已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥AC，在BC邊上取一點E，使PE⊥DE，則滿足條件E有兩點時，a的范圍。

6.關于x的方程 有兩個相異實根，

求k的范圍。

參考答案:

1、C 2、B3、2

4、≤ 5、(6，+∞)6、