與調和級數有關的幾個數理問題賞析*

韋燕平

(江蘇省無錫市第一中學 214000)

謝廣喜

(江南大學理學院 214122)

一般地，我們將表達式a1+a2+a3+…+an+…稱為無窮級數(簡稱級數)，當無窮級數的極限存在時，稱級數收斂(無窮等比數列各項和就是一個特殊的收斂級數)，否則稱級數發散．有關級數問題的深入研究主要在數學分析或復變函數論相關內容中有探討，前者主要探討實數背景下的數列斂散性問題，而后者主要探討復數背景下的數列斂散性問題．

我們將證明，對于任意大于SN0的正整數m，必存在n>N0，使得Sn-m∈(a,b)，也即m+aN0，使得m+a

為了與待證目標建立聯系，我們令mi=[SN0]+i(i=1,2,3,…)，利用(** )式，則mi>SN0，再利用(*)式，知存在ni，當ni>N0時，有mi+a

盡管調和級數本身是無法求和化簡的，但我們還是可以找到適當的函數，動態描述其“下界”特性：

(1)用a表示b,c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

簡解 (1)易得到b=a-1，c=-2a+1．

解析 為理解方便，我們下面具體針對不含數字9的情形予以證明(讀者可以發現，我們的證明實際上與該數字具體是幾是無關的).記r1=調和級數中不含數字9的1位(十進制)數的倒數之和(其中共有8項)，r2=調和級數中不含數字9的2位(十進制)數的倒數之和(其中共有8×9項)，r3=調和級數中不含數字9的3位(十進制)數的倒數之和(其中共有8×92項)，…，rn=調和級數中不含數字9的n位(十進制)數的倒數之和(其中共有8×9n-1項；一般地，我們利用乘法原理可得到這個結果，首位由于不能為0，又不能為9，故有8種選法，其他各位有9種選法，故滿足要求的n位(十進制)數共有8×9n-1個)．

評注為了記憶簡單方便，我們不妨稱此為特殊前提下調和級數的反常收斂，當然，如果我們將個位數的部分放縮得精致一些(現在的放縮顯然是比較粗糙的)，則可得到更小一點的上界．

簡解 與上題完全類似地，在k(k∈N*)位十進制正整數中，各位上的數碼不含2,0,1,6者共有(10-4)k=6k個，其中首位分別為3,4,5,7,8,9的各有6k-1個，于是

圖1

例5如圖1所示，將若干塊完全相同的均勻長方體磚塊疊放起來，第一塊磚相對于第二塊磚最右端能伸出去的最大長度為x1；此時將1,2塊磚看成一個整體，第二塊磚相對于第三塊磚最右端能伸出去的最大長度為x2；此時再將1,2,3塊磚看成一個整體，記第三塊磚相對于第四塊磚最右端能伸出去的最大長度為x3……第n塊磚相對于第(n+1)塊磚最右端能伸出去的最大長度為xn，試求Sn=x1+x2+…+xn(設每塊磚的長度為l)．

圖2