“千姿百態”上臺階

數學興趣小組組長小明宣布這次活動的主題是“千姿百態上臺階”。

小芳心直口快，搶先發問：“上臺階怎樣千姿百態呢?”

小勇回答道：“有的人一級一級地上，有的人兩級兩級地上，還有的人能三級三級地上，這不是千姿百態嗎?!”

小明回頭表示贊同：“我們今天的課題就是探討上臺階有多少種不同的上法，一個樓梯共有9級臺階，規定每步可以邁一級臺階、兩級臺階或三級臺階，從地面上到最上面一級臺階，共有多少種不同的上法?”

小嚴說：“這個問題有些棘手。我們可以采用我國數學家華羅庚先生提倡的‘退’中求進的解題策略，把問題‘退’到較為簡單的情況：如果只有一級臺階，那當然只有一種上法，如果有兩級臺階。那就有兩種上法：第一種是一級一級地上；第二種是一步跨上第二級臺階，”

未等小嚴說完，性急的小婷便急忙說道：“如果有三級臺階，那就有四種上法：第一種是一級一級地上；第二種是先一步上一級，再一步上兩級；第三種是先一步上兩級，再一步上一級；第四種是一步上三級，如果有四級臺階呢?”

組長小明接過小婷的話說：“如果有四級臺階，那第一步就有三種可能：(1)如果第一步上一級，那剩下來的三級就有4種上法(利用小婷說的結論)；(2)如果第一步上兩級，那剩下來的兩級就有兩種上法(利用小嚴說的結論)；(3)如果第一步上三級，那剩下來的一級有1種上法，所以四級臺階共有4+2+1=7種上法。”

小勇也不甘示弱，他搶著說：“如果有五級臺階，那第一步也有三種可能：(1)如果第一步上一級，那剩下來的四級就有7種上法(利用小明說的結論)；(2)如果第一步上兩級，那剩下來的三級就有4種上法(利用小婷說的結論)；(3)如果第一步上三級，那剩下來的兩級就有兩種上法(利用小嚴說的結論)，所以五級臺階共有7+4+2=13種上法。”

一聲不響的小娜突然搶著說：“妙!真妙!充分利用已得出的結論，進行后面的論證，可我們能否把這個規律一般化呢?”

小亮是本班的“數學通”，見識廣、思路寬，他說：“我們可以把這個規律一般化：設n級臺階有an種不同的上法，根據上面已得出的結論，有a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=13，我們發現a4=a3+a2+a1，a5=a4+a2+a2，把它推廣可得an=an-1+an-2+an-3，根據這個公式，容易算出：a6=13+7+4=24，87=24+13+7=44，口8=44+24+13=81，00=81+44+24=149，故上九級臺階共有149種不同的上法，上臺階真是‘千姿百態’啊!”

最后，組長小明提出個新問題：一個樓梯共有10級臺階，規定每步可以邁一級臺階或三級臺階，且不準一步邁兩級臺階。從地面上到最上面一級臺階，共有多少種不同的上法?

同學們，現在該是你動腦動手、施展才華的時候了!(答案：28)