利用全等三角形巧解幾何題

陳小波

幾何對于很多同學來說頗為頭疼.其實仔細觀察你會發現，圖形和題目雖然在變，但解題的方法、考察的知識點不變. 在解幾何題時，有很多小訣竅可以幫助大家迅速找到解題的捷徑，從而快速得出答案。下面，將通過對一道課本例題的變式探究，講解如何利用全等三角形巧解幾何題.

【例1】如圖1，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分別為D，E. F是OC上的另一點，連接DF，EF .求證：DF=EF.（人教版八年級上冊第51頁第5題）

【點撥】根據以往經驗，要求證DF= EF ，可通過證這兩條線段所在的兩個三角形全等，但根據已知條件只能找到兩個全等條件，還缺少第三個條件，故尋找第三個條件是解決問題的關鍵.

【解題方法】

方法1：先證△OPD≌△OPE，得OD=OE，這就是證明△ODF≌△OEF的第三個條件.

方法2：先證△OPD≌△OPE，得∠DPO=∠EPO，從而它們的鄰補角∠DPF=∠EPF，這就是證明△DPF≌△EPF的第三個條件.

【總結】想要證明兩個三角形全等而條件不夠時，可先證其他三角形全等，得到對應邊或對應角相等，再把這些作為證明所求的三角形全等的條件.

探究一： 已知條件不變，結論改變

【變式1】如圖2，已知AC平分∠BAN，CM⊥AB于點M，CN⊥AN于點N，且BM=DN，求∠ADC與∠ABC的關系.

【點撥】這道題求的是∠ADC與∠ABC的關系，與之前證線段相等或證角相等不同。仔細觀察圖形，可以發現有一對三角形△CDN和△CBM全等，從而把對應角∠ABC轉移為∠CDN，而∠CDN與∠ADC是互補關系，因此得出∠ADC與∠ABC的關系.證明略.

【變式2】如圖3，小強在∠AOB的平分線OM上任意取一點E，過點E分別作OA，OB的垂線EC，ED，垂足為C，D.當他把EC，ED反向延長，分別與OB，OA相交于點P，G后，他認為EP=EG，你認為他的看法正確嗎？請說明理由.

【點撥】這道題要證明的是兩條線段的關系，同樣觀察圖形可知，可能會有三角形全等. 把這兩條線段分別歸入兩個三角形中，再證明這兩個三角形是否全等，從而可證小強的結論是否正確.本題證明過程相對簡單，略.

【變式3】如圖4，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點E，F，連接EF交AD于點G.請問AD與EF垂直嗎？證明你的結論.

【點撥】這道題可用不同的方法來求解.

解題方法1：先證△AED≌△AFD，得AE=AF，再證△AEG≌△AFG，從而得到∠AGE=∠AGF=90°.

解題方法2：先證AD是∠EDF的平分線，根據角平分線的性質，得AE=AF，再證△AEG≌ △AFG，從而得到∠AGE=∠AGF=90°.

證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠EAD+∠EDA=90°， ∠FAD+∠FDA=90°

∵ AD是△ABC中∠BAC的角平分線

∴∠EAD=∠FAD

∴∠EDA=∠FDA

∴ AD是∠EDF的角平分線

∵ AE⊥DE，AF⊥DF

∴ AE=AF

在△AEG和 △AFG中，AE=AF，∠EAG=∠FAG，AG=AG

∴ △AEG≌ △AFG （SAS）

∴∠AGE=∠AGF=90°

∴ AD⊥EF

探究二： 圖形延伸的變式題

【變式1】如圖5，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，P是AD上的一點，PE∥AB，交BC于點E，PF∥AC，交BC于點F.求證：點D到PE和PF的距離相等.

【點撥】欲證點D到PE和PF的距離相等，要先證點D在∠EPF的平分線上.

證明： ∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD

∵PE//AB ，PF//AC，

∴∠BAD=∠EPD，∠CAD=∠FPD

∴∠EPD=∠FPD

∴PD是∠EPF的平分線

∴點D到PE和PF的距離相等.

【變式2】如圖6，P是∠BAC內的一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F，AE=AF.

求證：（1）PE=PF；

（2）點P在∠BAC的平分線上.

證明：連接AP

（1）∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴△APE和△APF是直角三角形

在Rt△APE和Rt△APF中，

AP=AP

AE=AF

∴△APE≌△APF （HL）

∴PE=PF

（2）據（1）得PE=PF

∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴點P在∠BAC的平分線上

探究三： 更復雜的圖形延伸探究

【變式1】（1）如圖7，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，∠BAC與∠BCA的角平分線AD，CE相交于點F.請你判斷FE與FD之間的數量關系，并說明理由.

【點撥】觀察圖形可知，圖中沒有現成的全等三角形，需要作輔助線構造一對全等三角形來解決問題.根據角平分線的性質，過點F作FG⊥AB，FH⊥BC，再證明△EGF≌ △DHF，從而得到FE=FD.

解：FE=FD

理由：如圖8，過點F作FG⊥AB，FH⊥BC，FM⊥AC，分別交AB，BC，AC于點G，H，M.

∵F為∠BAC，∠BCA的平分線的交點

∴∠EAF=∠CAF=15°，∠ECA=∠ECB=45°，FG=FM=FH

∴∠GEF=∠EAC+∠ECA=30°+45°=75°

∠HDF=∠BAD+∠ABD=15°+60°=75°

∴∠HDF=∠GEF

∵∠FHD=∠FGE=90°

∴△DFH≌△EFG

∴ FD=FE

（2）如圖9，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，那么在（1）中所得結論是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

解：結論FE=FD 仍然成立.

理由：如圖10，過點F作FG⊥AB，FH⊥BC， FM⊥AC

∵∠B=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線

∴∠CAD+∠ACE=60°，FG=FH=FM

∴∠GEF=∠BAD+∠CAD+∠ACE=60°+∠BAD

∵∠HDF=∠B+∠BAD=60°+∠BAD

∴∠GEF=∠HDF

∵∠FGE=∠FHD=90°

∴△EGF≌△DHF

∴ FE=FD

以上的幾道變式題，反復利用了角平分線的性質和三角形全等的判定這幾個定理.雖然圖形在變，但解題的方法幾乎都是一樣的，都通過證三角形全等來求問題的答案.同學們以后在解答這類題目時，一定要細心觀察圖形，如果能找出可能全等的三角形或作輔助線構造一對全等三角形，很多幾何題都能迎刃而解.