小議邏輯學知識在中學數學中的應用

龍冠樺

摘要:數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學,而邏輯學是研究思維形式及其規律的科學。本文就邏輯學知識在中學數學中的應用作一探討。

關鍵詞:邏輯數學教學

中圖分類號:G633文獻標識碼:A文章編號:1003-2851(2009)10-0177-01

高中數學的起始單元就是“集合與簡易邏輯” 。雖然它是第一次以“邏輯”的形式正式出現在數學教材中,但是邏輯思維方法,早從初中數學伊始,就已經貫穿于我們學習數學的過程中了。如初中代數中的一元二次方程、一元二次方程組,平面幾何中的四種命題、反證法等,這些知識中都包含和滲透著邏輯學知識。而高中代數中的集合、不等式組、數學歸納法,立體幾何中的定義、公理、反證法等等,更是貫穿著邏輯學知識的理解和運用。我們一定要認真理解并吸收這些知識,掌握正確的邏輯思維方法,才能為以后的進一步學習打下堅實的基礎。

既然邏輯學知識在中學數學中占據著如此重要的位置,要學好數學,我們必須努力學習和掌握邏輯學相關知識,進而全面地理解概念,正確地進行邏輯推理和判斷。唯有如此,我們才能贏得數學學習上的勝利。

下面是我對邏輯學在中學數學部分知識中的滲透和運用的一些膚淺理解。

一、邏輯學知識在集合中的應用

簡易邏輯與集合密不可分。邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”詮釋著三種不同的邏輯,它們與集合的“并”、“交”、“補”有著密切的聯系。

(一)“或”可以理解為集合中的并集,是將不同集合的所有元素合成一個集合。即AUB={x|x∈A或x∈B｝,其中的“或”是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一個成立。

(二)“且”可以聯想到集合中交集的概念,它類似于我們慣常理解的“既是、又是”,即AnB={X|X∈A且X∈B｝其中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”這兩個條件同時都滿足。

(三)“非”可以聯想到集合中的補集。若命題P對應的集合為A,則命題非P就應該對應著集合A在全集U中的補集CuA。

二、 邏輯學知識在概率中的應用

假使我們把以上三種邏輯運用到概率中,便更容易理解了。如果事件A與B不可能同時發生,則事件A與B為互斥事件,就像“或”對應著并集,發生的概率是A發生的概率加B發生的概率。而對于相互獨立事件,事件A與B發生的概率就是A的概率與B的概率之乘積。如果A和B是對立事件,就滿足著排斥邏輯。所以說數學中概率的運用也同樣離不開邏輯。

三 、邏輯學知識在“反證法”中的應用

從邏輯學的角度理解反證法,也就是通過推理論證矛盾命題非P的虛假性,從而確定命題P的真實性的論證。需要注意的是,假定P與非P的結論所確定的集合分別是A、B,且滿足AUB=I(全集),AnB=ф(空集),那么“非P”結論必須包含P的結論的所有對立面。否則我們使用反證法證題時就可能犯錯誤。如題:用反證法證明:如果a>b>0,則√a>√b。我們證明時假設√a不大于√b,則有兩種情況√a<√b 或者√a=√b。這樣在推理過程中,把命題結論對立面的兩種情況都納入了論證,才是正確而完整的論證,這樣得出的結論才能令人信服。

四、邏輯學知識在充分、必要、充要條件中的運用

我們知道,一般情況下,如果由p=>q,那么p是q的充分條件,q是p的必要條件。如果由p=>q,又由q=>p,那么p是q的充分必要條件,即充要條件。

例:條件p:|x|=x,q:x*x≥-x,判斷p是q的()。

A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件

解:由|x|=x得x≥0,由x*x≥-x得x≤-1或x≥0,所以若p成立則q成立,而q成立則p不一定成立,故p是q的充分不必要條件,故選A。

五、邏輯學知識在理解判斷四種命題及其相互關系的應用

在本節的學習中,我們可以從邏輯學和集合兩個角度去理解概念,正確掌握判斷四種命題的方法,如定義法,集合法,轉化法等。學會運用集合的觀點來解決簡易邏輯中的一些問題。

當然,邏輯學知識在中學數學中的滲透和應用遠遠不只上述幾個方面,在高中學的其他章節的學習中,我們都會遇到諸如此類的邏輯應用問題,在此無法一一列舉。

正是由于邏輯學知識在中學數學中不容忽視的作用,我們在平時的學習過程中,一定要有意識地學習和掌握邏輯學知識。這一方面有助于我們合乎邏輯地、準確地表達自己的數學思想、觀點和方法,另一方面也有助于培養我們良好的思維習慣和思維品質,為其他學科的學習和今后的社會實踐奠定牢固的基礎。