奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題的解題思維

陳方杰

摘要:奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題相對(duì)于一般數(shù)學(xué)題而言,更側(cè)重考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和解題思維能力,題目相對(duì)偏難一些。要解答奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題,不僅要有牢固的知識(shí)做基礎(chǔ),還必須選擇一個(gè)好的解題方法。那么,在解題的時(shí)候如何展開思維、如何來尋找這些解題方法即采取什么樣的解題思維策略來分析題目,進(jìn)而找到解題思路,提出解題方案;奧林匹克數(shù)學(xué)競賽解題思維過程又是怎么展開的呢?本文我們就來探討一下。

關(guān)鍵詞:奧林匹克;數(shù)學(xué)競賽;思維活動(dòng);解題規(guī)律

在奧林匹克數(shù)學(xué)競賽中為解答試題所進(jìn)行的思維活動(dòng)稱為奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題的解題思維。通過對(duì)思維的分析可知:奧林匹克數(shù)學(xué)競賽的解題思維是以邏輯思維為主的創(chuàng)造性的思維活動(dòng),奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題的解決過程是一個(gè)創(chuàng)造性的解題思維過程。

在解題時(shí),通常要對(duì)題目所給的條件與結(jié)論進(jìn)行聯(lián)系、分析,以找到利用什么知識(shí)、選用什么方法來解答問題,然后對(duì)問題進(jìn)行剖析,對(duì)各種信息進(jìn)行篩選、加工和重組,從而創(chuàng)造利用知識(shí)和方法的條件,這種復(fù)雜的、富有創(chuàng)造性的思維過程就是解題思維過程[1]。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)中,問題解決一般理解為一種操作過程或心理過程。問題解決又稱解決問題,是一系列有目的、有指向的認(rèn)知操作過程,是以思考為內(nèi)涵、以問題為目標(biāo)定向的心理活動(dòng)過程[2]。具體地說,數(shù)學(xué)問題解決是從對(duì)問題初始狀態(tài)的閱讀開始,經(jīng)過一系列的心理操作達(dá)到問題目標(biāo)狀態(tài)結(jié)果。在這一系列心理操作過程中,問題解決者必須根據(jù)問題所給的信息找到問題的當(dāng)前狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)之間的差異,并采取一定的思維策略找出解決問題的方案。

對(duì)問題解決的思維過程,許多專家和學(xué)者進(jìn)行了研究。杜威早在1910年就提出了問題解決的五個(gè)階段:感覺疑難、確定疑難、提出可能的答案、考慮各種結(jié)果、選擇解答方法。波利亞在1957年根據(jù)問題的解決思路提出了“怎樣解題”表,把數(shù)學(xué)的解題過程分為弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧解答四個(gè)部分。著名心理學(xué)教授Zelazo對(duì)問題解決的思維過程也進(jìn)行了深入分析,他把問題解決的思維過程劃分為時(shí)間上和功能上不同的幾個(gè)階段:問題表征階段、解題計(jì)劃制定階段、執(zhí)行擬訂計(jì)劃階段、解題過程的評(píng)價(jià)階段。其中執(zhí)行計(jì)劃階段又包括意向形成和推理規(guī)則使用兩個(gè)子步驟,解題過程評(píng)價(jià)階段又包括錯(cuò)誤覺察和錯(cuò)誤修正兩個(gè)子步驟[3]。

我國數(shù)學(xué)教育界不少專家和學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決也都有著積極的探索,并提出了解決的模式。曹才翰等人認(rèn)為問題解決的模式為[4]:①問題情景;②問題轉(zhuǎn)換;③尋求解法;④求得解答。傅敏等人提出如下思維過程[5]:①呈現(xiàn)問題;②分析問題;③聯(lián)系;④行為選擇;⑤檢驗(yàn)。盡管以上這些對(duì)問題解決過程的觀點(diǎn)的描述各有所異,但總體來看,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)解題始終遵循著從對(duì)問題的理解出發(fā)、明確解題方向、尋找解題策略、達(dá)到解題目的和回顧題解這一過程規(guī)律。奧林匹克數(shù)學(xué)競賽解題過程是一種特殊的問題解決思維過程。根據(jù)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題的特點(diǎn),在前人研究的基礎(chǔ)上,從教育心理學(xué)的認(rèn)知觀點(diǎn)著手,我們可以將奧林匹克數(shù)學(xué)競賽解題的思維過程分為問題表征、解析問題、解決問題、解題監(jiān)控和題后反思五個(gè)階段。

一、問題表征

問題表征指形成問題空間,包括明確問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)及允許的操作[6]。問題的表征也就是審題,在這個(gè)思維階段中,觀察和表象占很大的比重。解題者首先通過讀題對(duì)問題進(jìn)行字面理解,用自己的話重新表述問題,把問題的文字和符號(hào)等信息轉(zhuǎn)化為解題者內(nèi)部的心理表征。并在此基礎(chǔ)上,對(duì)問題進(jìn)一步深入理解,審清題目的結(jié)構(gòu),判別題目的類型,區(qū)分題目中的有關(guān)信息和無關(guān)信息。通過對(duì)問題正確的表征,能弄清題目所要求的結(jié)論是什么,為解題的思維指明方向。對(duì)題目的條件進(jìn)行羅列,發(fā)掘隱含條件,根據(jù)解題的目標(biāo)方向,來發(fā)現(xiàn)可用的條件。問題表征是否正確對(duì)高中數(shù)學(xué)競賽解題是很重要的,它為后面的解題思維過程打下了基礎(chǔ),如果一個(gè)問題得到了正確表征,那么可以說問題已解決了一半[7]。

二、解析問題

解析問題即分析和理解問題。在這個(gè)階段,解題者要對(duì)問題所包含的信息和本身已儲(chǔ)存的知識(shí)信息進(jìn)行主動(dòng)的加工,通過這種加工進(jìn)而認(rèn)識(shí)問題的起始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài),并判斷是否有現(xiàn)成的解題途徑。個(gè)體的知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)影響著解題者對(duì)問題的理解。實(shí)際上,在解析奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題時(shí),解題者是在審題的基礎(chǔ)上對(duì)問題給出的條件和結(jié)論仔細(xì)地分析,結(jié)合已有的知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考,以找到切入點(diǎn),理清解題思路,設(shè)計(jì)出解題方案。

問題的解析是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過程,對(duì)問題的理解產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的解題方案,執(zhí)行解題方案的過程中則不斷地改變問題的起始狀態(tài)或目標(biāo)狀態(tài)[8]。通過對(duì)題目當(dāng)前狀態(tài)所含信息的反饋,解題者會(huì)聯(lián)系目標(biāo)狀態(tài),發(fā)現(xiàn)題目中各個(gè)部分的差異,然后更加深入地理解分析問題,找到條件和結(jié)論存在的聯(lián)系后,重新對(duì)題目所提供的信息進(jìn)行轉(zhuǎn)換、重組或解釋,從而獲得更多的信息,實(shí)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的轉(zhuǎn)化。問題理解讓解題者的思維受阻時(shí),應(yīng)重新制定解題方案,使解題思維沿著正確的方向發(fā)展,如此往復(fù),直至問題獲得解答。問題的解析是否適意,對(duì)問題解決具有直接的影響。

三、解決問題

解決問題是解題者在前面對(duì)題目的表征和理解的基礎(chǔ)上,根據(jù)問題的特點(diǎn)來改變問題的起始狀態(tài)而擬訂出解題方案并執(zhí)行這個(gè)方案。解題方案是由一系列的操作所構(gòu)成,解題操作的選擇和組織是由選取一定的策略來決定的。在此過程中解題者就要運(yùn)用解題思維策略選取一定的解題方法,減小起始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)之間的差異,即實(shí)現(xiàn)由未知向已知的轉(zhuǎn)化。在解題過程中,解題者經(jīng)常會(huì)遇到難以執(zhí)行解題操作的情況,甚至無法實(shí)施。這種情況下解題者需要重新對(duì)問題進(jìn)行理解,調(diào)整解題方案,從而實(shí)現(xiàn)新的操作。由此可見,未知到已知的轉(zhuǎn)化和選擇解題方法是兩個(gè)交織循環(huán)的過程,解題者采取思維策略對(duì)各種解題途徑進(jìn)行比較篩選,找到一種最佳的解題方案,然后采取方案對(duì)問題進(jìn)行解決。解決問題是解題思維過程的核心階段。

四、解題監(jiān)控

解題監(jiān)控就是解題者為了達(dá)到解題目標(biāo),對(duì)解題過程中的解題操作是否適宜、是否能夠得到問題的解決作出評(píng)估。在高中數(shù)學(xué)競賽的解題中,如果所執(zhí)行的解題操作有困難,或不能夠得到問題的解決,那么解題者必須調(diào)整當(dāng)前的思維方式或思維對(duì)象,重新認(rèn)識(shí)題目的條件和結(jié)論以及當(dāng)前的問題解決狀態(tài),從而發(fā)現(xiàn)新的、有用的信息,改變解題思維策略,選擇新的解題方法。解題監(jiān)控也對(duì)解題的思路、方法和結(jié)果進(jìn)行評(píng)判和檢驗(yàn),同時(shí)反思解題過程。

五、題后反思

題后反思即對(duì)解題的回顧與思考。反思是以自己的實(shí)踐過程為思考對(duì)象,對(duì)自己所做出的行動(dòng)、決策以及由此產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行審視和分析。在這個(gè)環(huán)節(jié)中,解題者在問題解決的基礎(chǔ)上首先對(duì)解題的結(jié)果正確與否進(jìn)行檢驗(yàn),然后對(duì)前面幾個(gè)解題思維階段進(jìn)行思考。通過反思能使解題者找到解題思維受阻的原因,挖掘題目中的隱含信息,從不同的角度分析問題,優(yōu)化解題方法,從而能使解題過程更加簡捷合理。

一般而言,奧林匹克數(shù)學(xué)競賽的解題思維從對(duì)問題的表征開始,通過思維活動(dòng)明確問題目標(biāo),然后根據(jù)問題所提供的信息并結(jié)合認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)信息,分析找出當(dāng)前狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)的差異和聯(lián)系,再根據(jù)這些差異和聯(lián)系提取相關(guān)信息,并逐漸找到消除差異的方法和途徑,直到消除差異到達(dá)目標(biāo)狀態(tài),這一系列操作都是思維活動(dòng)的結(jié)果。

在這個(gè)思維過程中,前四個(gè)思維階段并不一定是嚴(yán)格按照上述的順序進(jìn)行的。由于奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題的開放性和探究性,解題者的思維會(huì)經(jīng)常從后一個(gè)階段返回到前面的階段,比如當(dāng)思維進(jìn)行到解決問題的階段,尋找解題方法感覺有困難時(shí),可能會(huì)返回到表征問題或解析題目的階段,對(duì)問題的條件狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行重新理解,然后再用解題思維策略找到適當(dāng)?shù)慕忸}方法。這四個(gè)思維階段相互之間又存在著交叉和滲透。問題表征的過程中需要對(duì)問題進(jìn)行解析,同時(shí)表征又為進(jìn)一步的解析提供線索。解析過程中可能有消除差異的操作,操作過程中如果不能順利達(dá)到目標(biāo)或者思維受阻時(shí),問題解決者可能需要回過頭來重新對(duì)問題進(jìn)行表征和解析。在解題過程中,解題者都是圍繞著如何接近和達(dá)到解題目標(biāo)而進(jìn)行思維的,由此可見,解題監(jiān)控更是滲透于整個(gè)過程。但是,從整個(gè)思維過程來看,在奧林匹克數(shù)學(xué)競賽的解題思維過程中,一般都需要經(jīng)過問題表征、解析問題、解決問題、解題監(jiān)控四個(gè)階段。

嚴(yán)格地講,在奧林匹克數(shù)學(xué)競賽的解題中,題后反思也是一個(gè)不可缺少的思維過程。題后反思對(duì)一道數(shù)學(xué)題的簡單解答來說也許不是一個(gè)必需的階段,但是對(duì)于奧賽題而言,一個(gè)題目完整的解答就要對(duì)題目的題解進(jìn)行分析研究。通過解題的回顧思考不但能加深對(duì)題目的印象,而且對(duì)于增強(qiáng)解題效果、拓寬解題思路、積累解題經(jīng)驗(yàn)和提高解題能力都有著很大的幫助,也能在所解答的題目基礎(chǔ)上對(duì)問題進(jìn)行推廣研究,這能培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神和創(chuàng)新能力,提高教師自身的科研能力。

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(作者單位:安徽省桐城師范學(xué)校)