巧分割　妙拼圖

苑建廣

本文出示了一個問題的解決方法及解決問題后的延伸思考，給大家提供了一個學習數學的有效方法。

問題：請你把任意一個凸四邊形剪成四塊。使這四塊能拼接成一個矩形。

方法：如圖1所示，ABCD是一個凸四邊形。分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點M、Q、N、P，連結MN；再分別過點P、Q作PH₁⊥MN，QH₂⊥MN，垂足分別為H₁、H₂。此時，四邊形ABCD被分割成四塊。把四邊形AMH₁P繞點P逆時針旋轉180°，把四邊形CNH₂Q繞點N順時針旋轉180°，再把四邊形BQH₂M沿射線BD的方向平移線段BD的長度，即可拼接成如圖2所示的矩形。

你知道如此剪拼能成功的道理嗎?(可連結線段PM、PN、QM、QN得“中點∪PMQN”，證得MH₁=NH₂，MH₂=NH₁，進而分析可得)事實上，在圖1中，當H₁為MN上任意一點時，連結PH₁，再過點Q作QH₂／／PH₁，交MN于點H₂(如圖3)。在拼法不變的情況下，可得到平行四邊形(如圖4)。

繼續思考，你能用其他方法將任意一個凸四邊形剪成四塊。使這四塊能拼接成平行四邊形嗎?

如圖5所示，分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點M、O、N、P，連結MN、PQ交于點H。此時，四邊形ABCD被分割成四塊。把四邊形AMHP繞點P逆時針旋轉180°，把四邊形CNHQ繞點N順時針旋轉180°，再把四邊形BQHM沿射線BD的方向平移線段BD的長度，即可拼接成如圖6所示的平行四邊形。

如圖7所示，分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點M、O、N、P，連結PN，MQ，過點B作BH／／AD，交QM于點H。此時，四邊形ABCD被分割成四塊。把△PND繞點N逆時針旋轉180°把△BQH繞點O順時針旋轉180°，再把△BMH繞點M逆時針旋轉180°，即可拼接成如圖8所示的平行四邊形。

再繼續思考，能否將任意一個凸四邊形剪成五塊，使這五塊能拼接成矩形?這里出示一種方法：

如圖9所示，分別取四條邊AB、BC，CD、DA的中點M、Q、N、P，連結PN、QM；再分別過點D、B作DE⊥PN，BF⊥QM,垂足分別為E、F。此時，四邊形ABCD被分割成五塊。把△DNE繞點N逆時針旋轉180°，把△DEP繞點P順時針旋轉180°，把△BQF繞點QN順時針旋轉180°，把△BFM繞點M逆時針旋轉180°，即可拼接成如圖10所示的矩形。

事實上，在圖9中，當E為PN上任意一點時，連結DE，再過點B作BF∥DE，交MO于點F(如圖11)。在拼法不變的情況下，可得到平行四邊形(如圖12)。

再繼續思考，還有其他方法能將任意一個凸四邊形剪成五塊，使這五塊能拼接成平行四邊形嗎?

如圖13所示，分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點M、O、N、P，連結PM、PN、QN、QM。此時，四邊形ABCD被分割成五塊。把△AMP繞點P逆時針旋轉180°，把△CNQ繞點N順時針旋轉180°，再把△BQM沿射線BD的方向平移線段BD的長度，即可拼接成如圖14所示的平行四邊形。

簡評：剪拼圖形是一類有趣的數學問題，在思考過程中存在著極強的目的性，對提高思維品質有很大好處。

隨著被剪圖形形狀的變化，拼接后的圖形形狀也會作相應的變化。如，當圖5中凸四邊形對角線互相垂直時，圖6將變為菱形；當圖13中凸四邊形對角線互相垂直時，圖14將變為矩形；而當圖13中凸四邊形對角線相等時，圖14中的平行四邊形鄰邊之比為1:2。