有理數的演變

在很久以前，人類的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是獸皮和樹葉，吃的是山上的野獸、樹上的野果和水里的魚，終年靠狩獵為生。那時候，雖然每天獵取的食物不多。但仍然有一個記數的問題。開始，人們只是以“多”和“少”來區分。漸漸的。有人想到可以扳著手指頭來數數，因為那時每天狩獵的成果也只是“屈指可數”的水平。再后來，狩獵的工具改進了，水平也提高了，當獵物超過10個以后，“屈指”已不可數，于是又想到在一條繩子上打結來記數。周代(公元前10世紀前后)《易經·系辭》中記載的“上古結繩而治”，指的就是那個遠古的時代。又過了不知多少年代，人們漸漸感到“結繩”太麻煩，而且時間一長往往記不清這些“結”指的是什么了，于是想到用一些符號來表示各種不同的東西和各種東西的數目，最早的數字便出現了。例如，公元前三四千年。我國西安的半坡遺址和公元前近兩千年的二里頭遺址的陶文中，就有?I?II?川?Ⅲl×、或x^或個＋八?＋1等符號，它們分別表示1、2、3、4、5、6、7、8。

在殷墟的甲骨文卜辭中，也有許多數字。在國外。大約在公元8世紀有一種印度的數字傳人阿拉伯。后來由阿拉伯人傳人歐洲，被歐洲人稱作阿拉伯數字。這些數字符號在使用過程中經過人們不斷的改進。最后演變成現在我們所使用的數字。

數字的出現給人們的生產和生活帶來了極大的方便。但如何用盡量少的數字來表示那么多的數呢?這個問題在中國人首先創造了十進位制記數法以后，才最終得到解決。

有時兩人合作才能獵獲一只兔子。有時5人合作一共獵獲兩頭羊。如何分配這些食物呢?起初。人們只知道“二分一”、“五分二”，后來才逐漸形成了分數的概念，記錄下來，就是“二分之一”、“五分之二”……，這也是中國人首創的。《周髀算經》中已大量使用分數，《九章算術》(約公元前100～50年)給出了相當完整的分數理論，比歐洲同類著作大約早1400年。我們現在所說的分數除法把除數“顛倒相乘”，就是我國古代教學家劉徽所提出的。

人類對零的認識比較晚。打不到野獸，空手而歸，這是最初對“零”的印象——空虛、饑餓、一無所有。在記錄這種情況時，各民族大多不約而同地用空位來表示。后來，又用符號“口”表示空位(有人推測這是個空無一物的牲畜欄)，慢慢地就演化成現的“0”了。

正如偉大導師恩格斯精辟論斷的那樣，“數和形的概念不是從其他任何地方，而是從現實世界中得來的”。

在小學時，算式“2～3”給我們的印象是“不夠減”。但學習了“有理數”的知識以后，我們就能解決這個問題了。有理數包括正數、負數和0。正負數的概念也是從生產實際的需要中產生的。生產發展了，一方面，人們的財富多起來，同時也促使人們互通有無。進行交換。于是，人們把私有財產記為正，欠債記為負；收入記為正，支出記為負；運進記為正，運出記為負；超出記為正，不足記為負……人們從這些具有相反意義的量中抽象出了正數和負數的概念。負數是相對于正數而言的，正數和負數既相互對立，又相互依存。我們的祖先不僅最早認識到負數的存在，而且總結出了正負數的加減運算法則(如《九毒算術》)，這在當時也是一件具有世界意義的重大創造。

編輯／王宇