概率教學中關于“可能性”的思考

回建彬

在概率的教學實踐中,“可能性”的教學問題不斷出現,如:究竟什么是“可能性”,為什么要學習“可能性”,以及用什么樣的方式來進行教學。教學中教師也常不知所措,實踐中就有了以下兩種現象。

【教學片斷1】“明天一定會下雨”是確定現象嗎?“可能性”學完后,教師在黑板上寫下“一定”“有可能”“不可能”,然后讓學生用這3個詞分別來說句話。有學生說:“太陽一定會從東方升起。”教師肯定了他的回答。又有學生說:“明天一定會下雨。”教師對此不置可否,又接著請其他學生繼續說。聽課的教師卻議論紛紛:“這件事情可能發生!”課后,執教老師認為:這件事情并沒有發生,所以不是確定的。

【教學片斷2】“為什么連續六次都摸到白球?”在一次“可能性”的教學中,教師在一個不透明的盒子中放入一個白球、一個黃球,然后要求學生任意摸一次,問結果會怎樣?學生回答:“可能摸到白球,也可能摸到黃球。”然后教師就讓學生摸球,來確認是否是這樣的。結果,所有學生都摸到白球。怎么會這樣呢?就連教師也不知道該如何去面對這樣的問題。

一個事件、一個現象發生不發生,是研究可能性的基礎。例如,每天太陽都會從東方升起;在標準大氣壓下,水加熱到100 ℃就會沸騰。總結以上現象,可以發現它們都有共同的特點,那就是:服從特定的因果規律,從一定的條件出發,一定可以推出某一結果,這一類現象就是“必然現象”。

雖然隨機現象具有不確定性,但是它也是具有規律的,正是因為它的這一屬性,才使得它與數學發生聯系。可是人們在平時零星的觀察中一般不容易發現隨機現象背后的規律。如本文開頭的現象二,具有概率初步知識的人都知道,在這樣的情況下,摸到白球和黃球的可能性是一樣的,但是這并不意味著第一次摸到的是黃球,第二次摸到的就一定是白球。因為這里的可能性一樣是針對某一次摸球而言的,即不管前面摸了多少次白球,下一次摸球時,出現白球和黃球的可能性仍然是相等的,各為1/2。教師如清楚地認識到這一點,就能理解出現連續摸到6次白球的情況也是有可能存在并且發生的,同時也能夠引導學生在學習中對此問題有較為清楚的認識。針對現象二,以下是值得借鑒的做法。

當學生連續6次摸到白球后,教師可以提問:1)怎么會連續6次摸到白球?(目的是引導學生感悟到每次摸球的結果在摸之前是無法確定的,連續多次摸到白球也有可能。)2)第7次會摸到什么顏色的球?(目的是使學生認識到前一次摸球的結果并不對后一次產生影響,初步感悟到隨機事件的發生和人的心理期望沒有任何關系。)

當所有學生摸到白球后,教師可以提問:真得摸不到黃球嗎?(目的是使學生明確:盒子里有黃球,只要不停地摸下去,是一定能摸到黃球的。)

通過以上層層設問,教師幫助學生搭建一個思維的階梯,有助于引導學生深入理解“可能性”的含義,也就是促使學生進一步理解事情發生的確定性與隨機性。

其實,上述2種情況都是概率教學的難點。因此在概率的教學中,教師要注意采取多種形式幫助學生建立對事情的正確表象,并事先對學生的情況進行了解,如知道學生可能對哪些問題容易出錯,不同的學生可能存在哪些不同的錯誤,從而有針對性地采取一些措施,這樣教學的效果可能會更好。在教學工程中,筆者認為,必須努力做到以下3個方面,才能使學生充分理解概率問題。

源于生活,適時聯系

注重偶然性與必然性之間的聯系必然性與偶然性雖然有很多差異,但是也非涇渭分明,其實是“你中有我,我中有你”。任何一個隨機事件的發生都有其偶然性,但是也包含一定的必然性,這種必然性表現在大量重復的試驗或觀察中呈現出固有的規律,這就是隨機現象的統計規律。概率論與數理統計的研究目的就是從偶然性中探求必然性,從混沌中找有序。該學科本身也體現了偶然與必然的辯證關系。

注重聯系學生的生活實際事實上,概率與統計對象來源于生活,其教學自然也不能脫離生活,因此教學中要引導學生提供他們熟悉的問題情境,恰當點撥,因勢利導。

注重與統計知識相聯系統計與概率是密切相關的內容,通過統計隨機事件發生的次數,可以來理解事情發生的可能性大小。這樣,可能性的得出要借助于統計的方法。

事必躬親,注重實踐

要讓學生能夠理解事情發生的可能性,只有學生親自感受體驗,才能相信有些事情是可能發生的,有些事情是不可能發生的,因此在“可能性”的教學中要注重學生的參與和實踐。

嚴謹教學,歸納推理

表面看上去,概率的有關知識缺乏通常意義下數學的嚴謹性,似乎無推理可言,但實際上概率中也是有推理的。在教學中可以通過讓學生猜一猜等活動,發展學生的合情推理能力,也可以通過看一看,培養學生思維的嚴謹性。

(作者單位:河北省唐山市豐潤區豐潤鎮中學)