勾股定理:數學學科德育的重要載體

張維忠

勾股定理幾乎是全世界中學數學課程中都介紹的內容。這是因為勾股定理不僅對數學的發展影響巨大，而且在人類科學發展史上意義非凡。著名網絡科普作家培米姆·安薩利近年提出人類最偉大的10項科學發現中，第一項就是勾股定理(其它9項依次是微生物的存在、牛頓三大運動定律和微積分、物質結構、血液循環、電流、物種進化、基因、熱力學四大定律、光的波粒二象性導致量子力學的誕生)。勾股定理是數學學科德育的重要載體，因為它不僅是對學生進行辯證思想方法教育的良好素材，而且也是探索性學習不可或缺的題材，通過勾股定理的欣賞與應用，還能讓學生接受文化的洗禮與熏陶，用心靈去體會數學獨特的魅力。

二、探索性學習不可或缺的題材

數學新課程理念下的數學學習將大量采用操作實驗、自主探索、大膽猜測、合作交流、積極思考等活動方式。而勾股定理是

三、通過勾股定理的欣賞與應用，接受文化的洗禮與熏陶，體會數學獨特的魅力

勾股定理是一條古老的數學定理，不論哪個國家、民族，只要是具有自發的(不是外來的)古老文化，他們都會說：我們首先認識的數學定理就是勾股定理。在西方文獻中，勾股定理一直以古希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580－約前500)的名字來命名，稱為畢達哥拉斯定理。更有趣的是我國著名數學家華羅庚教授在《數學的用場和發展》一文中談到了想象中的首次宇宙“語言”時，就提出把“數形關系”(勾股定理)帶到其它星球，作為地球人與其它星球上的“人”進行第一次“談話”的語言。可以說勾股定理是傳承人類文明的使者，是人類智慧的結晶，是古代文化的精華。因此，世界各國都非常重視勾股定理的社會文化價值，許多國家還發行了諸多勾股定理的相關郵票。

據史書記載，大禹治水與勾股定理有關，禹在治水的實踐中總結出了勾股術(即勾股的計算方法)用來確定兩處水位的高低差。可以說，禹是世界上有史記載的第一位與勾股定理有關的人。又有研究表明：古巴比倫時期(公元前1900－1600年)數學泥版文獻中的一些幾何或代數問題表明，勾股定理早在公元前兩千年就在兩河流域的美索不達米亞文明中得到了廣泛應用。這要比畢達哥拉斯早一千多年。我們常常用勾股定理“誰比誰早多少年”來對學生進行愛國主義教育。然而，歷史告訴我們：數學是全人類共同的遺產，不同文化背景下的數學思想、數學創造都是根深葉茂的世界數學之樹不可分割的一枝。勾股定理的證明層出不窮，至今已多達近四百種，既有代數的方法，也有幾何的方法，而且這些方法來自于東西方不同的文化。如果將這些多元文化的事例引入中小學數學課堂，我們就會發現“誰比誰早多少年”已經不是最重要的了，重要的是：這會讓我們的學生消除民族中心主義的偏見，以更寬闊的視野去認識古代文明的數學成就；同時，通過不同數學思想方法的對比，可提高學生數學創造性思維能力，并學會欣賞豐富多彩的數學文化。從而以平等、開放的眼光看待本民族與其他民族文化傳統之中的數學成果，樹立正確的數學觀，實現多元文化觀點下的數學教育目的。

需要進一步指出的是，出生于法國南部的費馬(Pierre de Fermat，1601--1665)，在大學里學的是法律，以后以律師為職業，所以人們稱他為業余數學家之王。他通過勾股定理，問是否有正整數x，y，z還能滿足xⁿ+yⁿ=zⁿ(n)2)?后人稱之為費馬大定理。費馬當時就說，“只有n=2時成立，其余的都不行。我已經有了證明，可惜我手頭書的空白太小，寫不下。”可是，以后的數學家花了幾百年時間也沒有證出來。數學家希爾伯特(Hilbert，D.1863--1943)稱費馬大定理是“一只會下金蛋的母雞”。這是因為費馬大定理的故事與數學的歷史有著千絲萬縷的聯系，觸及到數論中的所有重大課題。它對于“是什么推動著數學發展”，或許更重要的“是什么激勵著數學家們”提供了一個獨特的見解。費馬大定理是一個充滿勇氣、欺詐、狡猾和悲慘的英雄傳奇的核心，牽涉到數學王國中所有的最偉大的英雄。這只母雞最終被英國數學家懷爾斯(A.Wiles，1953－)宰殺。經過三百多年之后，懷爾斯于1995年終于證明費馬的猜想是正確的(圖7)。