矩陣空間上保弱伴隨矩陣的線性映射

張平

(三峽大學理學院,湖北宜昌 443002)

矩陣空間上保弱伴隨矩陣的線性映射

張平

(三峽大學理學院,湖北宜昌 443002)

為了刻畫矩陣空間上保弱伴隨矩陣的線性映射f,引入了保弱伴隨矩陣的概念,以矩陣的弱伴隨矩陣為不變量,得到了當n≥3時數域F上從線性矩陣空間Mn×n(F) 到Mm×m(F)的保弱伴隨矩陣的線性映射f的形式.

線性保持問題;單射;伴隨矩陣;弱伴隨矩陣;秩

1 引言

近40多年來,線性保持問題的研究一直是矩陣理論中普遍關注的問題[14].文[1]給出了當F是一個無限域,f/=0,n=m≥3時,f保伴隨矩陣的形式.文[2]將域F推廣到任意的域時,給出了f保伴隨矩陣的形式.本文引入了f保弱伴隨矩陣的概念,刻畫了從Mn×n(F)→Mm×m(F)的保弱伴隨矩陣的線性映射f.本文以下約定,用Mm×n(F)表示數域F上的m×n的線性矩陣空間,用Eij表示在(i,j)為1,其余為0的矩陣,In表示F上的n×n的單位矩陣,用F?,[1,n]分別表示F中的單位元,集合{1,2,…,n}.用R(A)表示矩陣A的秩.規定

2 預備知識

為了證明主要結論需要下面幾個定義和引理.

定義2.1[5]設A=(aij)n×n∈Mn×n(F),Mji為矩陣A中元素aji的余子式,把矩陣

稱為矩陣A的弱伴隨矩陣.

3 保弱伴隨矩陣的線性映射

本節假設n≥3,f是保弱伴隨矩陣的線性映射,即對任意的矩陣A∈Mn×n(F),有

引理3.1下面三種情況是等價的:

(i)f≡0;

(ii)存在互不相同的s,t∈[1,n]使得f(Est)=0;

(iii)存在正整數k∈[1,n]使得f(Ekk)=0.

證明(i)?(ii)顯然.

(ii)?(iii)選取k使得s,t/=k∈[1,n],令Xstk=In?Ess?Ett?Ekk,則根據引理2.3及引理2.5,有

[1]Chan Ginhor,Lim Minghuat,Tan Kokkeong.Linear preservers on matrices[J].Linear Algebra Appl.,1987,93:67-80.

[2]Tang Xiaomin.Linear operators preserving adjoint matrix between matrix spaces[J].Linear Algebra Appl.,2003, 372:287-293.

[3]劉玉.關于2×2矩陣代數保立方冪等的單射[J]．純粹數學與應用數學,2007,23(2):255-261．

[4]Li Chikwong,Leiba Rodman,PeterˇSemrl.Linear transformations between matrix spaces that map one rank specific set into another[J].Linear Algebra Appl.,2002,357(1-3):197-208.

[5]李順琴,劉興祥,郝變軍.弱伴隨矩陣及其性質[J]．延安大學學報:自然科學版,2005,24(4):24-26．

Linear operators preserving weak adjoint matrix between matrix spaces

ZHANG Ping
(College of Science,China Three Gorges University,Yichang443002,China)

In this paper,in order to characterize the linear operators on matrix spaces that preserve weak adjoint matrix,we introduce the definition of the preserving weak adjoint matrix and make use of the weak adjoint matrix as the invariant,and then obtain the form of the linear operators from the linear space of Mn×n(F) into Mm×m(F)over the number field F that preserve weak adjoint matrix,where n≥3.

linear preserver problem,injective map,adjoint matrix,weak adjoint matrix,rank

O151.21

A

1008-5513(2009)03-0573-06

2008-07-08.

湖北省教育廳重點科研項目(D200729002),三峽大學科學基金.

張平(1978-),碩士,助教,研究方向：算子代數.

2000MSC:15A57