具無窮時滯的中立型Volterra積分微分方程的概周期解

方聰娜,王全義

(1.集美大學理學院,福建廈門 361021;2.華僑大學數學科學學院,福建泉州 362021)

具無窮時滯的中立型Volterra積分微分方程的概周期解

方聰娜1,王全義2

(1.集美大學理學院,福建廈門 361021;2.華僑大學數學科學學院,福建泉州 362021)

研究了一類具無窮時滯的中立型Volterra積分微分方程的概周期解問題.利用線性系統指數型二分性理論和泛函分析方法,得到了一些關于該方程的概周期解的存在性、唯一性與穩定性的新結果,推廣了相關文獻的主要結果.

無窮時滯;概周期解;存在性;唯一性;穩定性

1 引言

具有無窮時滯的泛函微分方程的周期解和概周期解的存在性問題是重要而困難的問題，因而引起學者們的極大關注并且已得到一些好的結果[18].文[3-4]研究了如下具有無窮時滯的泛函微分方程

的周期解的存在性問題.文[5]利用Leray-Schauder原理和壓縮映射原理研究了比方程(1)更為廣泛的泛函微分方程

的周期解的存在性、唯一性與穩定性問題.文[6]利用文[5]的技巧進一步考慮了具有連續時滯和離散時滯的泛函微分方程

的周期解的存在性和唯一性問題.文[7-8]將方程(1)推廣為具有無窮時滯的中立型概周期微分系統

文[7]通過構造李雅譜諾夫泛函研究方程(4)的解的有界性、一致漸近穩定性與概周期解的存在唯一性,文[8]利用指數型二分性及不動點方法研究方程(4)的概周期解的存在唯一性等問題.本文將研究比方程(4)更廣泛的一類具無窮時滯的中立型Volterra積分微分方程

的概周期解的存在性、唯一性與穩定性等問題.其中A(t)是R上的n×n連續函數矩陣;B(t,s) 和C(t,s)都是R×R上的n×n連續函數矩陣;xt∈C([?r,0],Rn),xt(θ)=x(t+θ)(?r≤θ≤0),r＞0;f(t,x,xt)是R×Rn×C([?r,0],Rn)到Rn的連續函數向量.通過利用線性系統指數型二分性理論和泛函分析方法,得到了方程(5)存在唯一的一致穩定的概周期解,及其模的包含性的一些新結果.所得結果推廣了文[3,5-6,8]的有關結果.

2 主要結果

其中a2(t),b1(t),b2(t)分別由條件(H5)和(H8)中給出,而B1(t,s)=A(t)B(t,s)+C(t,s).

記BC(?∞,t0]={ψ(t)|ψ:(?∞,t0]→Rn有界連續},且?ψ∈BC(?∞,t0],定義它的范數為‖ψ‖=sup{‖ψ(t)‖:t∈(?∞,t0]}.方程(5)的具有有界連續初始函數ψ∈BC(?∞,t0]的解將表示為x(t,t0,ψ)或x(t,ψ)或x(t)(如果不會出現混淆的話).

定義1方程(5)的解x(t,t0,ψ)(t≥t0)稱為一致穩定的,如果對于每一個ε＞0和?t0≥0,存在著正數δ=δ(ε)(與t0無關),使得?φ∈BC(?∞,t0],只要‖ψ?φ‖＜δ,就有

定理1如果條件(H1)-(H4),(H6),(H8)及(H9)被滿足,則方程(5)存在唯一的一致穩定的概周期解x=ψ(t),且mod(ψ)?mod(A,B0,C1,f).

注2若在推論1中取B(t,s)≡0,K1=0,di(t)≡1,d1=d2=1,b1(t)≡0,b2(t)≡0,則推論1推廣了文[3]的定理5和文[5]的推論2.1;若在推論1中取B(t,s)≡0,K1=0,di(t)≡1,d1= d2=1,b2(t)≡0,則推論1推廣了文[6]的定理2.3.

定理2如果條件(H1)-(H3),(H5),(H7),(H8)及(H10)被滿足,則方程(5)存在唯一的概周期解x=ψ(t),且mod(ψ)?mod(A,B0,C1,f).

推論2在定理2的條件下,如果?t,s∈R,A(t+T)=A(t),B(t+T,s+T)=B(t,s),C(t+ T,s+T)=C(t,s),?(t,x,?)∈R×Rn×C([?r,0],Rn),f(t+T,x,?)=f(t,x,?),這里T＞0為常數,則方程(5)存在唯一的T-周期解.

3 一些引理

這里A(t)是t的概周期函數矩陣,g(t)是t的概周期函數向量.設X(t)是(6)式的基本解矩陣,則由文[9]的引理2.1可得下列引理.

證明因為條件(H4)及(H6)(或(H5)及(H7))被滿足,因此由引理1的(8)式(或(9)式)及引理2可知方程(6)具有指數型二分性.又由文[11]中的定理7.7可知系統(7)存在唯一的概周期解,且它可由(9)式(或(11)式)表示.

4 定理的證明

推論1的證明由定理1可知方程(5)存在唯一的一致穩定的概周期解x(t),而x(t+T)仍是概周期函數,且容易驗證x(t+T)也是方程(5)的解.因此由方程(5)的概周期解的唯一性即知, ?t∈R,x(t)=x(t+T).從而x(t)是方程(5)的唯一的一致穩定的T-周期解.

定理2的證明利用引理1的(9)式、引理2、引理3的(11)式、引理4、引理5及引理6,此定理的證明類似于定理1的證明.此處證明從略.

推論2的證明此推論的證明完全與推論1的證明類似,此處證明從略.

5 舉例

考慮如下方程

注3顯然,上例概周期解的存在性及其穩定性是無法用已有的文獻提供的方法來判別的.

[1]Wang Quanyi.The existence and uniqueness and stability of almost periodic solutions for functional differential equations with infinite delays[J].Chinese Annals of Mathematics:B,1997,18(2):233-242.

[2]方聰娜,王全義.一類泛函微分方程的周期解的存在性、唯一性及全局吸引性[J].數學物理學報,2005,25(6)：913-925.

[3]黃啟昌.具無限時滯的泛函微分方程的周期解的存在性[J].中國科學:A輯,1984,14(10):882-889.

[4]王克,黃啟昌.Ch空間與具無限時滯的泛函微分方程的有界性及周期解[J].中國科學:A輯,1987,17(3):242-252.

[5]王全義.具無限時滯的積分微分方程的周期解的存在性、唯一性及穩定性[J].應用數學學報,1998,21(2):312-318.

[6]陳鳳德.具無限時滯的非線性積分微分方程的周期解[J].應用數學學報,2003,26(1):141-148.

[7]楊喜陶,馮春華.一類具有無窮時滯的中立型Volterra積分微分方程概周期解的存在唯一性[J].數學學報,1997, 40(3):395-402.

[8]王全義.一類中立型泛函微分方程的概周期解的存在唯一性與穩定性[J].華僑大學學報:自然科學版,2002,23(3):222-228.

[9]周宗福.一類高維滯后型泛函微分方程的周期解[J].數學雜志,2002,22(4):423-430.

[10]王全義.概周期解的存在性、唯一性與穩定性[J].數學學報,1997,40(1):80-89.

[11]Fink A M.Almost Periodic Differential Equations[M].New York:Springer-Verlag,1974.

[12]王全義.一類中立型泛函微分方程的概周期解[J].華僑大學學報:自然科學版,2003,24(4):349-353.

The almost periodic solution of neutral Volterra integro-differential equations with infinite delay

FANG Cong-na1,WANG Quan-yi2
(1.School of Science,Jimei University,Xiamen361021,China; 2.School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou362021,China)

This paper deals with the problem on the almost periodic solutions to a class of neutral Volterra integro-differential equations with infinite delay.Using the theory of exponential dichotomies of linear system and the method of functional analysis,we obtain some new results on the existence and uniqueness and stability of almost periodic solution for the equations,and extend the main results of corresponding papers.

infinite delay,almost periodic solution,existence,uniqueness,stability

O175.6

A

1008-5513(2009)03-0546-10

2007-09-25.

福建省自然科學基金(Z0511026).

方聰娜(1977-),講師,研究方向:常微分方程及泛函微分方程.

2000MSC:34A12,34K14,34K40