幾種矩陣逆的連續性

吳池業,黃廷祝

(電子科技大學應用數學學院,四川成都 610054)

幾種矩陣逆的連續性

吳池業,黃廷祝

(電子科技大學應用數學學院,四川成都 610054)

非奇異矩陣的逆是矩陣元素的連續函數.學者們也對矩陣廣義逆的連續性有所研究.本文應用矩陣分裂和兩個矩陣之和的逆的展開式,給出了一般非奇異矩陣,M-矩陣和H-矩陣的逆的連續性．當一些合理的條件滿足時,這幾種矩陣的逆是連續的.

連續性;矩陣逆;M-矩陣;H-矩陣;廣義逆

1 引言

對大多數的數值分析者來說,矩陣逆是不合常理的.不但是因為矩陣逆的工作量接近于一般矩陣乘法工作量的三倍,而且不穩定[1].另外,很少矩陣逆是連續的.當A是非奇異方陣時, Moore-Penrose廣義逆等同于A的一般矩陣逆A?1.眾所周知[2],對于使得‖I‖=1任意矩陣范數‖·‖,如果‖E‖＜1,則

的充分條件是對于充分大的n,En的行和列位于A的行空間和列空間.廣義逆連續性的充要條件是Stewart[4]給出的.他給出了在(2)和(3)的條件下(4)成立的充要條件是對于充分大的n都有rank(A+En)=rank(A).Campbell和Meyer[5]也提供了M-P和Drazin廣義逆的連續性性質.

首先,我們提供兩個本文所需的定義

其中P是非負的,ρ(P)是P的譜半徑且當s＞ρ(P)時,A稱為M-矩陣.

M-矩陣有兩個主要特征:

(ii)A是穩定的.

n階矩陣A稱為H-矩陣,如果A的比較矩陣μ(A)=(αij)是M-矩陣,其中αii=|aii|且αij= ?|aij|(i/=j).

M-矩陣和H-矩陣在數值分析,數學物理,控制論和經濟學中有非常重要的應用[68].本文給出了關于一般非奇異矩陣,M-矩陣和H-矩陣逆的連續性的一些結論.明顯地,本文的條件比文[9]中的條件簡單.

全文中,對A=(aij)矩陣|A|被定義成|A|=(|aij|).

2 一般非奇異矩陣逆的連續性

3 M-矩陣逆的連續性

本節我們給出當滿足一些特殊條件時,M-矩陣逆的連續性.

定理2若給M-矩陣A一個擾動△A,|△A|≤ε|A|,ε是充分小的正數且A+△A非奇.則

故

定理2的條件明顯比引理2的條件要簡單.此外,當ε充分靠近于0時,ερ(A?1|A|)＜1總是可以達到的.故在定理2的條件下中,我們將其省略.

4 H-矩陣逆的連續性

本節我們給出當滿足一些特殊條件時,H-矩陣逆的連續性.

定理3若給不可約H-矩陣A一個擾動△A使得B=A+△A,其中B是非奇異的且△A= diag(ε1,ε2,…,εn)≥0.則

接下來的證明類似于定理3的證明,此略.

[1]Higham N J.Accuracy and Numerical Algorithm[M].Philadephia:SIAM,1996.

[2]Wilkinson J H.Rounding Error in Algebraic Process[M].Englewood Cliff,NJ:Prentice-Hall,1963.

[3]Ben-Israel A,Charnes A.On error bounds for the generalized inverse[J].SIAM J.Numer.Anal.,1966, 3(4):585-592.

[4]Stewart G W.On the continuity of the generalized inverse[J].SIAM J.Appl.Math.,1969,17(1):33-45.

[5]Campbell S L.On the continuity properties of Moore-Penrose and Drazin generalized inverse[J].Ibid,1977, 18(1):53-57.

[6]Windisch G.M-matrices in Numerical analysis[M].Leipzig:Teubner-Texte zur Mathematik,1989.

[7]Takayama A.Mathematical Economics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1988.

[8]Horn R A,Johnson C R.Topics in Matrix Analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.

[9]Wei Yimin,Cao Yanhua,Xiang Hua.A note on the componentwise perturbation bounds of matrix inverse and linear systems[J].Appl.Math.Comp.,2005,169(2):1221-1236.

On the continuity of several kinds of matrices inverse

WU Chi-ye,HUANG Ting-zhu
(School of Applied Mathematics,University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu610054,China)

The inverse of a nonsingular matrix is a continuous function of the elements of the matrix.The continuity of the generalized inverse A+of a matrix A was also investigated by scholars.In this paper,applying matrices splitting and the expansion of inverse of sum of two matrices,the continuity of matrices inverse,such as general nonsingular matrices,M-matrices and H-matrices,respectively,is provided.Inverses of these matrices are continuous when some reasonable conditions are satisfied.

continuity,matrix inverse,M-matrix,H-matrix,generalized inverse

O241.6

A

1008-5513(2009)03-0481-05

2007-04-02.

國家自然科學基金(10771030),教育部科學技術研究重點項目(107098),四川省應用基礎研究項目(2008JY0052),高等學校博士點專項科研基金(20070614001),電子科技大學“中青年學術帶頭人+創新團隊”項目.

吳池業(1978-),博士生,研究方向：數值算法的穩定性和精確性.

2000MSC:65F10