亞式期權定價研究綜述

賴 欣 馮勤超

摘要：對亞式期權定價的文獻進行分類整理，并就其中一些文獻的觀點進行分析評論。亞式期權是場外交易中幾種最受歡迎的新型期權之一，但它的價格卻沒有解析表達式，到目前為止，亞式期權的定價仍是個公開問題。在嘗試了大量研究之后，發現在很早之前提出來的Monte Carlo模擬法定價是算術平均亞式期權的較好近似。

關鍵詞：亞式期權；定價方法；文獻綜述

中圖分類號：F830文獻標識碼：A文章編號：1672-3198(2009)24-0170-02

1引言

亞式期權(Asian options)作為新型期權中的一種，也稱為平均期權，它實質上是歐式期權的一種創新。它與歐式期權的相同點在于它們都是只允許其投資者在到期日當天執行期權合同，不同點在于歐式期權是根據到期日當天的股價的高低來決定是否執行期權合同，而亞式期權是根據合同期內的股價的平均價格的高低來決定是否執行期權合同。由于歐式期權到期日的價值與路徑無關，只依賴于到期日的股價，因此很難防止有人操縱到期日的價格進而從中套利，而亞式期權卻是與路徑相關的，使用它可以緩解投機行為。而且，與標準期權相比，亞式期權還有價格更便宜、可以用來對沖在指定時期內的風險的優點。

亞式期權是場外交易中幾種最受歡迎的新型期權之一，但它的價格卻沒有解析表達式，到目前為止，亞式期權的定價仍是個公開問題。假定標的資產價格s服從對數正態分布，因為一系列對數正態分布變量的幾何平均仍服從對數正態分布。而相應算術平均沒有可以解析處理的特性，故算術平均亞式期權比幾何平均亞式期權的定價要困難得多。對幾何平均亞式期權，我們已得到它的定價的(顯式)解析解，但算術平均亞式期權很可能不存在這種(顯式)解析解。然而，實際中常見的是算術平均亞式期權，幾何平均亞式期權相對較少。因此，算術平均亞式期權的定價問題引起許多數理金融學家的注意，已有不少的近似解，但至今沒有解析解，因而探尋其合理的價值估計方法成為期權理論的一個具有重要學術價值的題目。

2亞式期權定價

盡管亞式期權已經在實務界得到廣泛應用，其準確的定價公式仍沒有從理論上得到較好解決。對于亞式期權的估價問題，關鍵是如何確定股價平均價格A(T)的概率分布，這是得到解析定價公式的主要難點。許多學者從不同角度討論了亞式期權的定價思路。

2.1國外研究

Kemna＆Vorst(1990)通過改變波動率和敲定價格提出了一個幾何平均期權的定價解析公式。幾何平均期權可以用一個明確的解析式來計算，因為如果價格服從對數正態分布，那么價格的幾何平均值也服從對數正態分布。因此，幾何平均亞式買入和賣出期權的價值就可以得出，而算術平均期權則不可以。

Turnbull＆Wakeman(TW)(1991)提出了一種近似計算方法，盡管亞式期權的分布是未知的，但是算術平均價格概率分布的前兩階距是可以求得出來的，他們是基于算術平均的一種近似對數正態分布，為了定價期權而提出平均值的二階矩近似法。

Edmond Levy(1992)則是在此基礎上，找到了一個更適合前兩階距的對數正態分布，就是用幾何布朗運動s(t)來近似代替A(T)，這樣就將亞式期權的定價轉化為常規歐式期權的定價了，從而計算的算術平均價格近似值比TW的近似值更精確。Curran在同年提出了一種基于幾何調節方法的近似算術亞式期權方法。這個模型著眼于我們所學的幾何分布以及標的資產價格在特定點的值。通過對每個時間點上的數取自然對數，我們就可以得到在幾何分布下的標的資產價格，最后求積分計算。

Hull＆White(1993)在二叉樹的模型上增加一個結點，然后運用線性內插法來計算每個結點的近似平均值，最后通過后向折現計算出期權價格。但是。這種方法不能保證收斂性。

Rogers&Shi(1995)提出了用有限差分法來解亞式期權問題，他們根據比例縮放的性質，將平均亞式期權價格計算簡化為解一個二元拋物線偏微分方程。但是這種方法在于適用于較低的波動率和較短的到期時間。Chalasani，Jha＆Varikooty(1997)在Rogers＆Shi模型的基礎上修改了用來估計期權條件期望的隨機變量z，得出了亞式期權精確解的下界。Chalasani，Jha＆Varikooty(1998)使用三叉樹法計算了離散的亞式期權，而Thompson(2000)改進了此方法，使之更精確。

Andreasen(1998)對Rogers&Shi的模型進行了擴展，通過改變基準在數字上解決亞式期權的定價問題。在用有限差分法來解亞式期權問題上，Tavella和Randall(2000)也做了相關方面的研究。

Zhang(2001)給出了具有固定敲定價格的算術平均亞式期權的半顯示解，并得到了較好的數值結果，但此方法沒有充分利用解在部分區域中有解表達式的特征。

2.2國內研究

而在國內。胡日東在《關于亞式股票期權及其定價方法的研究》中首先提出了奇異期權問題，并且計算出亞式期權的近似計算公式，由于亞式期權的算術平均價格不再服從對數正態分布，因此難以找到A(T)密度函數，于是胡日東將幾何布朗運動s(T)來近似代替A(T)，再找出亞式買人期權的近似值C(T；S，K)。此方法要根據亞式買人期權價格的近似值是否超出理論邊界來判斷近似計算公式的合理性。此方法運用的是解析法。

1999年，許端和蔡金緒在《亞式期權估價的最新進展》中提出了利用對數正態分布近似估計算術平均資產價格期權的價值。他是用對數正態分布作為資產價格算術平均值的近似概率分布，來獲得此類期權的近似價格。具體思路是。假設A服從某種對數正態分布，通過隨機變量的矩確定所需要的參數。然后利用關于常規期權的Black-Scholes定價公式得到亞式期權的近似估價。該方法得到的近似期權估價公式的取值范圍沒有超出期權價值的理論邊界。然后，他們利用Johnson分布近似估計算術平均資產價格期權的價值。

關于金融衍生證券定價的Monte Carlo模擬方法問題。1999年以前中國期刊上尚未看到有關研究成果。

2000年黨開宇和吳沖鋒分析了Monte Carlo模擬、幾何平均近似法、二階矩近似法、偏微分方程法和條件期望下限法等五種亞式期權的定價方法。他認為，用Monte Carlo模擬得出的結論十分精確，但缺陷是操作麻煩，工作量大，且無法做靈敏度分析，

2004年邵斌和丁娟運用LongstaH和Schwartz最近提出的用Monte Carlo模擬法計算美式期權的方法在GARCH模型中求解美式亞式期權，結果表明和其它數值方法相比，不僅有相當的精確度，而且使用簡便并具有更廣泛

的實用性，對于GARCH模型中運用格點法難以求解的浮動執行價格的美式亞式期權同樣可以得到穩定解。

2005年馬俊海和張維將重要性抽樣技術處理特殊衍生證券定價問題的能力與控制變量技術、分層抽樣技術簡單靈活、易于應用的特點有機地結合起來，把分層抽樣技術和控制變量技術引入重要性抽樣模擬估計的分析框架，提出更為有效的關于期權定價Monte Carlo模擬的綜合性方差減少技術I并以基于算術型亞式期權定價為例，進行了實證模擬分析。

2008年孫彥和王子亭研究了亞式期權與交易帳戶期權之間的關系。作為交易帳戶期權的一種特例，亞式期權的價格可以通過一個簡單的一維偏微分方程來求解，通過網格離散形式。對同定敲定價格的算術平均亞式期權進行求解，給出方程的數值解，取得定價解。

同年，羅付巖和賈貞分析了在標的資產價格對數收益服從NIG-Levy，過程的條件下，如何構建和計算等價鞅測度，通過Esscher轉換得到Q等價鞅測度，并以此為基礎尋找風險中性概率的條件。最后利用這些條件探討亞式期權的數值定價問題。利用低差異序列中的Halton、Sobol、Faure序列對亞式期權進行了數值定價分析。

由于算術平均亞式期權的路徑相關性，始終無法得出其定價的精確解，人們在嘗試了大量研究之后，發現在很早之前提出來的Monte Carlo模擬法得出的價格是算術平均亞式期權的較好近似。

3基于Monte Carlo模擬的亞式期權定價

根據現有的金融資產定價理論，除了少數一些簡單衍生證券的價格可以得到比較簡單的理論計算公式以外，絕大部分期權價格則必須通過數值分析方法來加以確定。因此，數值分析方法就成為解決衍生證券定價問題的十分必要的手段。概括地講，常用的金融衍生證券定價的數值分析技術可分為三個基本類型：網格分析技術、有限差分技術和Monte Carlo模擬技術。其中，網格分析技術和有限差分技術在維數較低的衍生證券定價應用中得到比較好的應用，但對于基于多標的變量和路徑依賴特性的高維衍生證券定價應用時，由于計算工作量的迅速增加使得實現起來十分困難，有時甚至是不可能的。此即所謂的“維數災難”。而Monte Carlo模擬由于具有比較靈活且易于實現、估計誤差及收斂速度與解決問題的維數獨立等兩個明顯優勢，從而能夠較好地解決基于多標的變量的高維衍生證券的定價問題。所以，隨著高維衍生證券發展越來越快。交易規模迅速增加，應用日趨廣泛，網格分析技術和有限差分技術應用將會受到越來越大的限制，Monte Carlo模擬必將在金融衍生證券定價中發揮更為重要的作用。

Monte Carlo模擬方法在亞式期權定價中應用的基本思想是：假設標的資產的價格的分布兩數已知，將期權的有效期分成若干個小的時間段，利用計算機，從樣本中隨機抽樣來模擬每個時刻股票價格，從而得到股票價格的-二個可能路徑，進而可求得期權在到期，日的價值。這一結果可看成是到期日期權的價值一個隨機樣本。不同的路徑得到不同的樣本，最后對所有的樣本求算術平均，就可得到到期日期權的價值，再根據無套利原理，將該值折現到當前時刻，即可得期權當前的價格。

但Monte Carlo模擬在應用方面也存在著明顯的不足。對相當一部分金融衍生證券的定價問題，仍然不能得到理想的結果。首先，收斂速度比較慢，對一些復雜的衍生證券。要想達到較好的估計精度，就需要進行很多的模擬次數，否則將產生較大的估計誤差，其次，由于方法本身所具有的前向模擬特點，使其對具有后向迭代搜索特征的美式衍生工具的價格估計存在著一定的困難。近些年來，人們針對Monte Carlo模擬方法這些不足。提出了許多有效的改進技術。大大擴展了該方法的應用范圍和估計效果。

4總結

亞式期權是與路徑相關的，這樣它通常比標準化的歐式期權要便宜，且使用它可以緩解投機行為。因此它在某些情況下是較好的投資和風險控制工具。在許多情況下，在市場上尋求套期保值的公司往往需要為他們在未來一段時間內連續平穩的可預測現金流進行保值，這時持有一個合適的亞式期權可以對沖平均價格的風險，因此，亞式期權是進行金融風險管理的有力工具。

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對于幾何平均亞式期權，我們能得到精確的解析解，但是，對于算術平均亞式期權，人們采用了各種方法，但是仍然無法得到解析的定價公式。對標的算術平均亞式期權更多的是以標的幾何平均亞式期權來近似逼近(常見的如二階矩近似法、控制變量法、相似變量代換法)或采用數值方法。

本文對亞式期權定價的研究理論進行綜述，并提出用Monte Carlo模擬對算術平均亞式期權進行定價，對學術界進一些步研究亞式期權定價問題起到一定的參考作用。