磁通量不變也會產生感應電流嗎?

徐忠岳

根據法拉第電磁感應定律,當穿過導體回路的磁通量發生變化時,回路中才會產生感應電流。那么,看了下面的問題及其解答后,你是否會認為磁通量不變也會產生感應電流呢?

問題 如圖1所示,用密度為d、電阻率為ρ、橫截面積為A的薄金屬片制成半徑為r的閉合金屬圈。金屬圈水平放在磁極的狹縫間,金屬圈平面與磁場方向平行。設勻強磁場僅存在于相對磁極之間,極間磁感應強度大小為B,其它地方的磁場忽略不計。金屬圈從靜止開始釋放,其平面在下落過程中保持水平(不計空氣阻力)。設磁場區域在豎直方向足夠長,求金屬圈下落的最大速度vm。(改編自2007年北京高考理綜試卷第24題)

上述解答正確嗎?下面我們換一種方法分析。

金屬圈切割磁感線時產生的感應電動勢為動生電動勢,它可以看成是由洛倫茲力引起的[1],金屬圈中自由電子受到的洛倫茲力的大小為:f=e(v×B)。

根據電動勢大小的定義,金屬圈產生的感應電動勢大小等于單位電荷繞金屬圈一周非靜電力K對它所做功的大小,其中非靜電力的大小就是單位電荷所受的洛倫茲力:

K=fe=v×B。

金屬圈上某一小段上產生的感應電動勢為:

dε=(v×B) ?dl。

所以,整個金屬圈產生的動生電動勢大小為:ε=∮(L)(v×B)?dl=B?2πr?v。

得到的感應電動勢大小和第一種解答的結果一樣。對高中學生來說,有效切割長度l=2πr不是很難理解,最終得到的結論顯然沒什么問題。不過換個角度考慮,學生可能會產生這樣的困惑:由于圖1中磁感線與金屬圈平面平行,那么下落過程中通過它的磁通量不變且始終為零,怎么會產生感應電流呢?可是,學生又找不出上述解答有什么不妥之處,難道法拉第電磁感應定律有誤,磁通量不變也會產生感應電流嗎?

學生的困惑主要來自于圖1中的輻射磁場,他們往往想當然地把圖1中的磁感線反向延長并交于一點,認為金屬圈處于一個由中心向四周輻射的磁場中,所以他們會認為通過金屬圈平面的磁通量為零。顯然這種觀點是錯誤的,因為磁感線是不會相交的,那么金屬圈處于什么樣的磁場中呢?根據右手螺旋定則,可以大致描繪出該裝置中通電線圈產生的磁場的分布情況,如圖2所示。圖中磁感線都是閉合的環狀曲線,由于磁極之間的距離很小,磁極間的磁感線可以近似地看作是水平的,所以在俯視圖中,磁極間的磁感線好像都是由中心向外輻射的。但事實上,通過金屬圈的磁感線并不是由中心向四周輻射的,由縱截面示意圖可知,它們像噴泉一般自下而上穿過金屬圈。當金屬圈向下運動時,穿過它的磁感線越來越密,磁通量增大,產生了感應電流。根據楞次定律,可判斷產生的感應電流的方向是順時針的,這與根據導體切割磁感線時常用的右手定則判斷出來的結果是一致的。

根據以上分析,金屬圈中能產生感應電流也是因為通過它的磁通量發生了變化,與法拉第電磁感應定律并不矛盾。我們也可以應用回路磁通量的變化來求出感應電動勢的大小,那么用這種方法求得的電動勢大小是否等于用切割磁感線的方法求得的電動勢呢?

設金屬圈在dt時間內下降很小的一段距離dy,此過程中磁感應強度水平分量的平均值為Bx,豎直分量的始末值分別為By、B′y 。如圖3所示,在金屬圈的軸線上取一個底面半徑為r,高為dy的圓柱體。根據磁場的高斯定理,通過任意閉合曲面的磁通量恒等于零,取圓柱體的外法線矢量為正方向:

由以上計算可知,根據導體切割磁感線得出的感應電動勢與根據通過回路磁通量的變化所計算的結果相同。應用這兩種方法的前提條件是一致的——即通過金屬圈的磁通量發生改變,導體切割磁感線的運動,只是引起閉合電路的磁通量變化的具體方法之一,兩者是“特殊性和普遍性”的關系。

另外對于這一問題,學生還可能產生這樣的疑問:金屬圈切割磁感線的同時,通過線圈的磁感應強度又在不斷變化,那么金屬圈中的電動勢究竟是動生的,還是感生的,還是兩者之和呢?其實,動生電動勢和感生電動勢在這一問題上只具有相對的意義;如果選擇激發磁場的通電線圈為參考系,空間的磁場不發生變化,而金屬圈在運動,所以金屬圈內的電動勢是動生電動勢;如果選擇金屬圈為參考系,則通電線圈相對于金屬圈向上運動,這一相對運動引起磁場的變化,金屬圈中的電動勢又成了感生電動勢。由于選擇了不同的參考系,同一感應電動勢,既可以說是動生的,又可以說是感生的;不過,坐標的變換只能在一定程度上消除動生和感生的界限。本題中感應電動勢的大小是確定的,可以按動生電動勢計算,也可以按感生電動勢計算,而不是兩者之和。

參考文獻:

[1]趙凱華,陳熙謀.電磁學[M].北京:高等教育出版社,1995,480.

(欄目編輯羅琬華)