例談數(shù)學(xué)操作性實(shí)驗(yàn)課

凌 玲

長期以來，人們一般認(rèn)為“實(shí)驗(yàn)”只是物理和化學(xué)的事，與數(shù)學(xué)無關(guān)。其實(shí)，數(shù)學(xué)中的許多概念、定理、公式都是通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的。

數(shù)學(xué)概念、定理的形成一般來自于解決實(shí)際問題或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，教材上常常隱去其形成的思維過程，而通過實(shí)驗(yàn)可以再現(xiàn)這些過程。教師在教學(xué)時，要根據(jù)需要設(shè)置合理情境，巧搭數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)概念、定理的形成過程，使學(xué)生在動手中弄清概念、定理的來龍去脈，從而能對其加深理解，準(zhǔn)確把握。數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)課有操作性實(shí)驗(yàn)課、思維性實(shí)驗(yàn)課、計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)課等幾種類型。本文略談數(shù)學(xué)操作性實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)方法。

操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是在一定的情境中，引導(dǎo)學(xué)生通過對一些工具、材料的操作，探索數(shù)學(xué)知識，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論(或假設(shè)1。這種實(shí)驗(yàn)常用于與幾何圖形有關(guān)的知識、定理、公式的探究或驗(yàn)證。操作性實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一般步驟是：教師提出問題→學(xué)生實(shí)驗(yàn)→觀察分析→猜想結(jié)論→交流校正→驗(yàn)證或證明。

譬如，在學(xué)習(xí)橢圓時，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作來探究橢圓的概念：全班每兩個學(xué)生分為一組，課前準(zhǔn)備兩枚圖釘、一根細(xì)線、一張白紙、一支鉛筆，課堂上按以下程序進(jìn)行操作、思考。

試驗(yàn)一：取適當(dāng)長度(2α)的細(xì)線，在細(xì)線兩端系上圖釘，將圖釘分別按在鋪有白紙的桌面上兩點(diǎn)F₁、F₂、處，F(xiàn)₁與F₂距離的選取滿足｜F₁F₂｜<2a，用鉛筆靠在細(xì)線上并拉緊細(xì)線，轉(zhuǎn)動一周，畫出一個橢圓。

作完圖以后，要求學(xué)生思考如何給出橢圓的定義。其中，教師可適當(dāng)提示在作圖的過程中，哪些量是變化的，哪些量是不變的，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)、定點(diǎn)和定長，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)所畫曲線上的每個點(diǎn)具有的共同特征。

試驗(yàn)二：改變細(xì)線的長度，使2α=｜F₁F₂｜，按照試驗(yàn)一的方法操作鉛筆，能得到什么結(jié)論?

試驗(yàn)三：改變細(xì)線的長度，使2α<｜F₁F₂｜，按照試驗(yàn)一的方法操作鉛筆，出現(xiàn)什么現(xiàn)象?

學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2α=｜F₁F₂｜時，畫不出橢圓，只能得到一條線段；當(dāng)2a<｜F₁F₂｜時，畫不出任何圖形。此時，要求學(xué)生思考，橢圓的完整定義是什么，讓學(xué)生自己體驗(yàn)在橢圓定義中加入2a>｜F₁F₂｜這個限制條件的必要性。

在討論橢圓的離心率的時候，可以在前面畫橢圓實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)以下試驗(yàn)：

1F₁、F₂位置不變，在滿足條件2a>｜F₁F₂｜的前提下，改變2n的長度，作出橢圓的圖形，并比較這些橢圓的形狀有什么不同。

2細(xì)線長2α不變，在滿足條件2a>｜F₁F₂｜的前提下，改變F₁F₂的位置，作出橢圓的圖形，并比較這些橢圓的形狀有什么不同。

通過這兩個試驗(yàn)，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，有些橢圓的形狀比較“圓”，有些比較“扁”，而這顯然與細(xì)線長2α、｜F₁F₂｜即焦距2c有關(guān)。進(jìn)一步再引導(dǎo)學(xué)生通過探討得出：當(dāng)c與α相比很小，即離心率e=c／a越接近0的時候，橢圓越“圓”；當(dāng)c與α越接近，即e=c／α越接近1的時候，橢圓越“扁”。

在上述實(shí)驗(yàn)過程中，橢圓的概念、性質(zhì)不是作為結(jié)果直接告訴學(xué)生的，而是通過學(xué)生動手操作、探究獲得的，這是一個主動構(gòu)建知識的過程，在這一過程中課堂真正還給了學(xué)生。學(xué)生之間的分工協(xié)作，既加強(qiáng)了數(shù)學(xué)交流，培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)合作精神，又使學(xué)生思維的深刻性得到加強(qiáng)。

又如，在概率教學(xué)中學(xué)習(xí)等可能事件的時候，可以引進(jìn)按以下步驟進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)：

步驟一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

本周末有個學(xué)術(shù)報(bào)告會，小張和小王都很想去，但是只有一張票，大家能否幫小張、小王想個辦法來決定誰去聽報(bào)告會。甲同學(xué)建議采取擲硬幣的辦法，任意拋出一枚均勻的硬幣，若其正面朝上，小張去，若反面朝上，則小王去。大家想一想：這個辦法公平嗎?

步驟二：進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)

1同桌兩人做20次擲硬幣的游戲，一人擲硬幣，一人負(fù)責(zé)記錄數(shù)據(jù)，兩人合作借助計(jì)算器計(jì)算硬幣正面朝上的頻率和反面朝上的頻率，并填寫記錄表格。

2匯總各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，累計(jì)全班同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果，分別計(jì)算試驗(yàn)累計(jì)進(jìn)行到20次、40次、80次、120次……400次時硬幣正面朝上的頻率，并完成折線統(tǒng)計(jì)圖。觀察這個統(tǒng)計(jì)圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

步驟三：驗(yàn)證猜想，形成概念

以下是幾位數(shù)學(xué)家所作的擲硬幣試驗(yàn)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，它與你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律相符合嗎?

通過這個實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生體會到：任意擲一枚均勻的硬幣，在大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)中，它正面朝上的可能性和反面朝上的可能性都相等，都趨向于0.5。由此引出“等可能事件”和“概率”的概念。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生由于親自動手操作，從一個旁觀者和聽眾變成了一個參與者，因此，學(xué)生對實(shí)驗(yàn)的結(jié)果、產(chǎn)生結(jié)果的原因、涉及的新知識、方法等產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣，這就有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。另外，在實(shí)驗(yàn)中還涉及很多數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)信息，學(xué)生通過幾個不同范圍的合作互動，探索出實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，從而培養(yǎng)了學(xué)生搜集、處理信息的能力以及合作精神。

(責(zé)編王學(xué)軍)