一種基于Ｋ鄰域平均法的小波圖像恢復算法

趙晨萍　郭運瑞　李登峰　宋錦萍

摘 要：小波圖像壓縮及圖像消噪算法近年來得到了廣泛的重視和發展，其處理的核心部分就是圖像的邊緣,各種算法都會產生圖像邊緣的鋸齒狀震蕩，即Gibbs現象。針對小波圖像壓縮中的振蕩現象，首先應用Kirsch算子檢測圖像邊緣，然后利用區域內像素灰度的相關性及小波系數的相關性，提出一種基于小波變換的K鄰域平均法，最后通過仿真及信噪比的比較說明了此算法的有效性和可行性。

關鍵詞：小波變換；Gibbs現象；Kirsch算子； K鄰域平均法

中圖分類號：TP391文獻標識碼：B

文章編號：1004 373X(2009)02 148 03

Algorithm of Wavelet Image Recovery Based on K Neighborhood Average Method

ZHAO Chenping1 ,GUO Yunrui1,LI Dengfeng2,3,SONG Jinping2,3

(1.Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang,453003,China;

2.Institute of Applied Mathematics,Henan University,Kaifeng,475001,China;

3.College of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifeng,475001,China)

Abstract：The algorithms of image compression and image denoising using wavelet have been widely concerned and studied.How to keep the image edges is the important problem in all the algorithms.However,the Gibbs phenomenon can be produced along with all kinds of image procession.In order to eliminate the oscillations and improve the reconstruction image quality,the article firstly detects edge of the image byusing Kirsch operators,then presents the K neighborhood average algorithm－based according to dependence of the image pixels and the wavelet coefficients,and finally shows the feasible and efficient performance by simulation experiments and signal－to－noise ratio.

Keywords：wavelet transform;Gibbs phenomenon;Kirsch operator;K neighborhood average method

基金項目:國家自然科學委員會與中國工程物理研究院聯合基金資助項目（10576013）；河南省自然科學基金資助項目（0611053200）；河南省教育廳基礎研究資助項目（2006110003）；河南科技學院校選項目基金資助項目(0655)

0 引 言

小波變換是近些年來發展起來的一種非常有效的數學工具。它在許多領域都得到了廣泛應用，如圖像分割、圖像壓縮、圖像去噪、圖像恢復和指紋識別等。尤其是在圖像壓縮中，利用小波變換對圖像的光滑部分進行線性逼近時具有很高的精度。盡管如此，但這樣處理還不盡如意，例如在對圖像的邊緣以及具有奇異點的部分進行逼近時，往往出現常見的Gibbs，即奇異點附近的點會出現振蕩現象，從而掩蓋了原有圖像的奇異特征，使得線性逼近的精確度大大降低。為了解決圖像壓縮中出現的邊緣振蕩問題（Gibbs現象），設計一種K鄰域平均算法［1］，利用K鄰域平均法對奇異點的系數進行修正，從而消除了振蕩，改善了逼近圖像的質量。在此分別用二值圖像和灰度圖像進行仿真驗證。實驗表明，這里提供的算法能夠有效的恢復圖像壓縮中的振蕩失真現象，具有充分的可行性和推廣價值。

1 小波變換［2］

圖1給出一幅二值圖像經過Haar小波分解并利用低頻線性逼近的圖像。從圖1中可以看出在圖像的灰度邊緣部分，有比較明顯的振蕩現象。小波Eno［3－7］方法是一種有效的去除Gibbs現象的插值方法，但是隨著小波分解層數的增加，效果不夠理想。

圖1 原始二值圖像和Db1小波線性逼近圖像

設φ(x)和ψ(x)分別是小波的尺度函數和小波函數，小波的有限支撐長度為［0,l］（l∈Z）。關于φ(x)和ψ(x)，下列相應的雙尺度方程成立：

φ(x)=2∑ls=0c璼φ(2x－s)

ψ(x)=2∑ls=0h璼φ(2x－s)（1）

其中：{c璼}l璼=0和{h璼}l璼=0分別稱為低通濾波器系數和高通濾波器系數。

記φ(x)和ψ(x)的伸縮平移函數如下：

φ璲,k(x)=2j/2φ(2jx－k)

ψ璲,k(x)=2j/2ψ(2jx－k)(2)

則對L2(R)空間有如下多分辨分析分解：

L2(R)=V璊⊕∑∞j=JW璲（3）

其中：V璲=span{φ璲,k(x),k∈Z},W璲=span{ψ璲,k(x),k∈Z}，且滿足V璲+1=V璲⊕W璲。

對任意能量有限信號f(x)∈L2(R)，其在子空間V璲上的投影為：

f璲(x)=∑kα璲,kφ璲,k(x)

α璲,k=∫f(x)φ璲,k(x)dx（4）

上式稱為f(x)在第j層的尺度系數。類似地，f(x)在子空間W璲上的投影為：

w璲(x)=∑kβ璲,kψ璲,k(x)

β璲,k=∫f(x)ψ璲,k(x)dx（5）

式（5）稱為f(x)在第j層的小波系數。由以上分析，一個信號f(x)可以做如下分解：

f(x)=f璲(x)+∑∞i=jw璲(x)（6）

其中f璲(x)稱為f(x)關于子空間V璲的線性逼近。

為了計算各個尺度上的尺度系數α璲,k和小波系數β璲,k，有如下快速小波算法，即Mallat算法：

α璲,i=∑ls=0c璼α璲+1,2i+s，

β璲,i=∑ls=0h璼α璲+1,2i+s（7）

綜上，對連續函數的情形給出了尺度系數、小波系數的計算公式，以及線性逼近的定義。在現實中，遇到更多的是離散情形。在離散情形下，函數f(x)被看作在某一尺度上的平滑系數，即尺度系數。定義如下2個矩陣：

L=c0c1c2c3……c璴－1

c0c1c2c3……c璴－1

… … … …

c0c1c2c3……c璴－1，

H=h0h1h2h3……h璴－1

h0h1h2h3……h璴－1

… … … …

h0h1h2h3……h璴－1 (8)

及向量α璲=(…,α璲,k,α璲,k+2,…)T和β璲=(…,β璲,k,β璲,k+2,…)T。則離散型的Mallat算法，即式(7)可改寫為：

α璲=Lα璲+1，

β璲=Hα璲+1（9）

相應逆小波變換也可利用矩陣形式表示為:

α璲+1=L*α璲+H腸陋璲(10)

2 K鄰域平均算法

2.1 小波線性逼近

記原始圖像為X。用小波變換對X進行n層分解，得到一系列的子圖像。用第n層的低頻部分線性重構，得到原始圖像的逼近圖像Y。如圖1所示，逼近圖像Y在灰度的邊界地帶出現振蕩，使得壓縮圖像質量降低。

2.2 間斷點判斷

在此采用Kirsch(3×3)八方向算子［8］對二維圖像進行邊緣檢測。Kirsch算子是利用一組模板分別計算在不同方向上的差分值，取其中最大的值作為邊緣強度，而將與之對應的方向作為間斷方向。Kirsch(3×3)算子模板如圖2所示。

記模板為W璳(k=1,2,…,8)，則(x,y)處的邊緣強度為：

E(x,y)=maxk{W璳·X}

其中：·表示點乘運算；k=1,2,…,8。即首先計算每個模板與對應像素點灰度卷積，然后取8個值中的最大值作為該點的梯度值，進而得到原圖像的梯度圖像。

取定閾值，判斷出對應圖像的邊緣點即間斷點，在圖像壓縮或去噪中正是這些邊界點的灰度失真。

2.3 K鄰域平均算法

該算法主要考慮在n×n的窗口內，屬于同一集合的像素，它們的灰度將高度相關。因此，窗口中心像素的灰度值可用窗口內與中心像素灰度最接近的K像素的平均灰度來代替。較小的K值使噪聲方差下降少，但保持細節好；而較大的K值平滑噪聲較好，但會使圖像邊緣模糊。

對第3.2節中的間斷點，利用小波系數的相關性，在小波域對系數利用K鄰域系數修正，然后重構即得。

圖2 Kirsch算子模板

3 算法仿真及分析

這里在兩層線性逼近基礎上，分別對線性逼近圖像采用了經典小波Eno方法和K鄰域平均法修正小波系數，其中仿真實驗中與Kirsch算子模板一致，采用的是3×3模板，取K值為6。圖4結果表明，K鄰域平均法能夠有效地消除圖像灰度邊緣的鋸齒狀振蕩，對消除Gibbs現象非常有效，并且視覺上比Eno方法更優。

圖3 壓縮圖像經不同修正方法后的逼近圖像

這里采用信噪比(SNR)作為衡量標準比較該文算法與經典Eno小波插值方法的去振蕩效果:

SNR=10log10‖f‖22‖f－g‖22〗

其中f為真實圖像，即原始圖像；g為帶噪圖像，即逼近圖像。數值結果如表1所示。

表1 不同的逼近圖像的信噪比(dBi)（兩層分解）

算法一維Eno插值K鄰域平均修正算法

信噪比33.135433.781 1

表1數值結果表明，該文的K鄰域平均法，有更高的信噪比。這充分說明了相比經典Eno小波插值方法，經過K鄰域平均法處理的圖像與原始圖像相似度更高。

4 結 語

對小波壓縮及消噪圖像的邊緣保持問題是一個研究熱點，基于這個問題，設計了基于K鄰域平均法并通過仿真實驗驗證該算法，另外與經典Eno小波方法比較，應用信噪比的比較說明該算法的優越性。

參考文獻

［1］賈永紅.數字圖像處理［M］.武漢:武漢大學出版社，2003.

［2］程正興.小波分析算法與應用［M］.西安：西安交通大學出版社,2001.

［3］Zhou H M,Wavelet Transforms and PDE Techniques in Image Compression.USA:University of California,2000.

［4］James S Walker,Ying－Jui Chen.Image Denoising Tree－based Wavelet Subband Correlations and Shrinkage.Optical Engineering,2000,39(11):2 900－2 908.

［5］Chan F H,Zhou H M.Adaptive ENO－Wavelet Transforms for Discontinuous Functions.CAM Report,Dept.of Math;UCLA,Preprint.1999.

［6］宋錦萍,楊曉藝,侯玉華.基于微分算子的Eno－haar小波變換及其應用［J］.電子與信息學報，2004，26（6）：940－944.

［7］Chang S G,Yu B,Martin V.Adaptive Wavelet Thresholding for Image Denoising and Compression.IEEE Transactions on Image Processing,2000,9(9):1 532－1 546.

［8］章毓晉.圖像分割［M］.北京:科學出版社，2001.

［9］楊福生.小波變換的工程分析與應用［M］.北京：科學出版社,1999.

［10］王曉丹，吳崇明.基于Matlab的系統分析與設計圖像處理［M］.西安：西安電子科技大學出版社,2001.

作者簡介 趙晨萍 女，1980年出生，河南滑縣人，碩士，助教。主要從事小波分析及圖像處理研究。