錐度量空間中c距離下擴張映射的新不動點定理

韓 艷， 胡曉飛， 劉 秀

(昭通學院 數學與統計學院, 云南 昭通 657000)

●數學研究

錐度量空間中c距離下擴張映射的新不動點定理

韓 艷， 胡曉飛， 劉 秀

(昭通學院 數學與統計學院, 云南 昭通 657000)

在c-距離下的錐度量空間中研究有關擴張映射的不動點存在問題, 且分別去掉了錐的正規性和映射的連續性, 所得結論改進并推廣了原有的一些重要結論.

錐度量空間； c-距離； 擴張映射

1 預備知識

最近許多學者研究討論并指出錐度量空間，或者是tvs-錐度量空間是度量空間的推廣，見文[1,4,5].但是大部分都是研究錐度量空間中壓縮映射的不動點定理，有關擴張映射的不動點定理相對較少，文[2]在完備的錐度量空間中要求連續的條件下討論了一個擴張映射的不動點定理.文[3,6,7]在錐度量空間中引入了一個新的概念，即c-距離，它是對w-距離(文[10])的一個推廣.緊接著，文[8,9]討論了有關錐度量空間中c-距離下多個壓縮映射的不動點定理. 在本文中, 我們繼續在錐度量空間中, 分別去掉映射連續性和錐的正規性這兩個條件下，進一步探討c-距離下擴張映射的不動點定理, 最終結論改進和推廣了原有的一些結論.

設E是實Banach空間,θ是E中零元,P是E中非空閉凸集,稱P是E中的錐,若

(i)x∈P且λ≥0則λx∈P;

(ii)x∈P且-x∈P, 則x=θ.

設P是E中的錐,≤是由P定義的半序, 即?x,y∈E,y-x∈P,則x≤y. 錐P稱為正規錐,如果存在常數K>0, 使得θ≤x≤y(?x,y∈E)蘊含‖x‖≤K‖y‖, 其中K為正規常數. 用x?y表示y-x∈intP.

定義1.1[1]設X是一個非空集合. 若映射d:X×X→E滿足

(i)θ≤d(x,y)對一切x,y∈X.d(x,y)=θ當且僅當x=y;

(ii)d(x,y)=d(y,x) ?x,y∈X;

(iii)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) ?x,y,z∈X.

則稱d是X的一個錐度量.(X,d)稱為錐度量空間.

定義1.2[1]設(X,d)為錐度量空間,x∈X且{xn}n≥1是X中的一個序列. 則

(i) 若對任意的c∈intP, 存在正整數N, 使得對所有的n,m>N,d(xn,xm)?c,則稱{xn}n≥1Cauchy列;

(ii) 若對任意的c∈intP, 存在正整數N, 使得對所有的n>N,d(xn,x)?c,則稱{xn}n≥1為收斂列;

(iii) 若X中的每個Cauchy列都收斂, 則(X,d)為完備的錐度量空間.

定義1.3[6]設(X,d)為錐度量空間, 映射q:X×X→E滿足下列條件:

(i) ?x,y∈X,θ≤q(x,z);

(ii) ?x,y,z∈X,q(x,z)≤q(x,y)+q(y,z);

(iii) ?x∈X若存在u=ux∈P使得q(x,yn)≤u, 且序列{yn}收斂到一點y∈X, 則有d(x,y)≤u;

(iv)對任意c∈E且c?θ存在e∈E且e?θ, 使得當q(z,x)?e,q(z,y)?e時有d(x,y)?c,則稱q為X上的c-距離.

引理1.1[6]設(X,d)是錐度量空間,q為X上的c-距離,{xn},{yn}是X中的序列.設x,y,z∈X,{un}是錐P中收斂到 的一個序列, 則下列結論成立:

(i) 若q(xn,y)≤un且q(xn,z)≤un,則y=z;

(ii) 若q(xn,yn)≤un且q(xn,y)≤un, 則{yn}收斂到一點z∈X;

(iii) 若對任意的m>n有q(xn,xm)≤un, 則{xn}是X中的一個Cauchy列;

(iv) 若q(y,xn)≤un, 則{xn}是X中的一個Cauchy列.

引理1.2[4]錐度量空間中收斂序列的極限是唯一的.

2 主要結果

定理2.1 設(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離, 設連續映射f∶X→X是滿射與映射α,β,γ是X上的非負實值函數滿足如下條件:

(1) ?x∈X,α(x)≥α(fx)，β(x)≥β(fx),γ(x)≥γ(fx)

且α(x)+β(x)+γ(x)>1,β(x)<1

(2) 對任意的x,y∈X,

(2.1)

則映射f存在一個不動點x*∈X,并且迭代序列{fnx}收斂到不動點x*．

證明 ?x0∈X, 因為f是滿射,故?x1∈X使得x0=fx1, 依次類推,定義{xn}如下：xn=fxn+1,n=0,1,2….由(2. 1)式得

即得

(2.2)

由(2.2)式知, 對任意的m>n≥1, 根據三角不等式得

于是由k∈(0,1), 根據引理1.1(iii)得{xn}是(X,d)中的Cauchy列.

由X的完備性知, 存在x*∈X使得當n→∞時有xn→x*, 又根據映射f的連續性,得fxn→fx*, 即xn-1→fx*. 根據引理1.2,有fx*=x*,故x*為映射f的一個不動點,同并且迭代序列{fnx}收斂到x*．

推論2.2[11]設(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離,設連續映射f∶x→X是滿射與映射k∶X→(1,+∞)滿足如下條件:

(1) ?x∈X,k(x)≥k(fx);

(2) 對?x,y∈X,

q(fx,fy)≥k(x)q(x,y)

則f有一個不動點x*∈X, 迭代序列{fnx}收斂到不動點．

推論2.3 設(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離,設連續映射f∶x→X是滿射滿足如下條件:?x,y∈X, 有常數α,β,γ滿足α+β+γ>1，β<1使得

則映射f有一個不動點x*∈X，并且迭代序列{fnx}收斂到不動點x*．

定理2.4 設(X,d)為完備的錐度量空間,P是正規常數為K的正規錐.q為X上的c-距離,設映射f∶x→X是滿射與映射α,β,γ是X上的非負實值函數滿足如下條件:

(1) ?x∈X，α(x)≥α(fx),β(x)≥β(fx),γ(x)≥γ(fx),

且α(x)+β(x)+γ(x)>1,β(x)<1

(2) 對任意的x,y∈X,

(2.3)

(3) ?y∈X,fy≠y時,0

則映射f有一個不動點x*∈X, 并且迭代序列{fnx}收斂到不動點x*．

證明 ?x0∈X,因為f是滿射, 所以?x1∈X使得x0=fx1,依次類推, 定義{xn}如下：xn=fxn+1,n=0,1,2…

類似于定理2.1可得，對任意的m>n≥1, 有

(2.4)

(2.5)

而P是正規常數為K的正規錐由(2.5)式得

(2.6)

由(2.4)式知對任意的m>n≥1,有

(2.7)

若fx*≠x*,則在(2.6)和(2.7)中令m=n+1有

矛盾. 故有fx*=x*,即x*為f的一個不動點, 并且迭代序列{fnx}收斂到不動點x*．

推論2.5[11]設(X,d)為完備的錐度量空間,P是正規常數為K的正規錐.q為X上的c-距離, 設映射f∶X→X是滿射與映射k∶X→(1,+∞)滿足如下條件:

(1) ?x∈X,k(x)≥k(fx)

(2) 對任意的x,y∈X,

q(fx,fy)≥k(x)q(x,y)

(3) ?y∈X,fy≠y時,0

則f有一個不動點x*∈X, 迭代序列{fnx}收斂到不動點．

推論2.6 設(X,d)為完備的錐度量空間,q為X上的c-距離, 設映射f∶X→X,是滿射滿足如下條件:

(1) 對任意的x,y∈X, 存在常數α,β,γ滿足α+β+γ>1，β<1使得

(2) ?y∈X,fy≠y時,0

則f有一個不動點x*∈X, 迭代序列{fnx}收斂到不動點．

注 文[3, 5, 6]中的許多結果都要求映射的非減性,本文中的結論均不要求映射的非減性.同時定理2.1,推論2.2,2.3不要求錐的正規性,定理2.4, 推論2.5—2.6不要求映射的連續性，系數上由原來的一個增加到三個，改進了文[11]. 此外, 若在本文的定理中令E=,P=[0,+∞),可相應得到有關度量空間中許多有意義的不動點理論.

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Fixed point theorems under c-distance of expanding mappings in cone metric spaces

HAN Yan， HU Xiao-fei， LIU Xiu

(School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000, China)

In this paper, some fixed point results for c-distance in cone metric spaces for expanding mappings are obtained. Then, we deleted the normal cone and the continuity of the mappings in the theorems, respectively. The results generalize and improve some well-known comparable results.

Cone metric space; c-distance; Fixed point

2016-08-09

云南省應用基礎研究項目(青年項目)(2016FD082)；昭通學院校級科學研究課題(2016xj32).

韓艷(1986— )，女，湖北黃岡人，講師，碩士，主要從事非線性分析研究.

O177.91

A

2095-7408(2016)05-0015-04