注重逆向思維，培養創新能力

摘 要： 逆向思維是指與人們常規的、正向的思維順序相反的一種思維方式。在解決數學問題過程中，當正向思維困難時，我們要注重運用逆向思維方式，突破習慣性思維的局限，克服常規思維中所遇到的困難，開辟新的解題途徑，優化解題過程，培養創新思維能力。

關鍵詞： 數學教學 逆向思維 創新能力

江澤民同志指出：“創新是一個民族的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。”培養具有創新思維能力的新型人才，我們教育工作者責無旁貸。創新思維能力主要體現為思維的靈活性，而逆向思維是培養思維靈活性的一種重要手段，因此，在有“思維的體操”之稱的數學教學中，我們不但要善于正面思維，而且要注重逆向思維。

逆向思維是相對于習慣思維的另一種思維方式，突破思維定勢，從相反的方向思考問題。它的基本特點是：從已有思路的反方向去思考問題，順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決；正命題研究過后，研究逆命題；探討可能性發生困難時考慮探討不可能性。

在解決數學問題時，一般情況是由已知推出結論，久而久之，學生就形成了這種正面思考的思維定勢。但有時拘泥于常規，束縛于正面思考的思維定勢，困難棘手，步履艱難。事實上，事物都是辯證的，大與小、多與少、簡單與復雜，都是相輔相成的。當問題的正面限制條件弱時，其反面的限制條件反而強，當從正向去思考困難時，如果善于逆向思維，注重逆向分析、逆向變形及正逆轉化的限制條件，則往往可以開辟新的解題途徑，避繁就簡，優化解題過程。在這過程中學生就能訓練思維的靈活性，培養創新意識和創新思維能力。

一、轉換角色，反面求證

法國數學家阿達瑪說過：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾。”我們在解數學題時，有一些問題直接推證難以入手或難以簡明表述時，就要從反面的角度思考，把條件、結論角色轉換，把結論的反面當條件用，通過肯定題設而否定結論，導出矛盾，從而反面求證。具體地講，是從否定問題結論入手，作出與求證結論相反的假設；將反設作為已知條件，并由此通過一系列的正確邏輯推理導出矛盾；矛盾的原因是假設不成立，從而肯定原命題成立，達到解決問題的目的。

例1：已知n是已確定的正整數，r=f（k）是使滿足1≤r≤n的整數與滿足1≤k≤n的整數對應的函數，且當k＜k時，恒有f（k）≤f（k）。證明：存在整數m（1≤m≤n）使f（m）=m恒成立。

分析：本題中的m的大小不知道，函數的f的對應關系又不清楚，想直接從正面入手，要找到符合條件的m很難。正難則反，轉換角度思考、尋求問題的證明，不妨試著把條件、結論角色轉化，將結論的反面當條件用。若我們能夠證明其反面不能成立，就能肯定其正面成立。

假設對任何m（1≤m≤n）都有f（m）≠m，則f（1）≠1。又由已知可得，當k=1有f（1）≥1，故推得f（1）≥2。據題設有f（2）≥f（1），所以f（2）≥2；而f（2）≠2，有f（2）≥3；同理可得f（3）≥4；……類推得f（n-1）≥n；f（n）≥n+1。

這與題設的1≤f（n）≤n矛盾，所以假設錯誤，原命題成立，即存在整數m（1≤m≤n）使f（m）=m恒成立。

對于問題的結論以“否定”或“唯一”、“無限”形式出現的命題，或者探索性存在型問題，從結論入手進行反面思考，從反面突破，也增強學生的思維的靈活性和開拓性，培養創新精神和實踐能力。

二、逆向思考，執果索因

解題時，在順向推理暫時難以發現求解途徑，觀察規律未能求得解的情況下，不妨逆向而行，從結論出發倒推回去，執果索因，從中捕捉信息，打開缺口，獲取解題途徑。所謂執果索因就是從肯定結論入手進行推理，推得符合條件或易證的命題，而推理的每一步均可逆，于是證得原命題成立。

例2：設a、b、c、d都是正數，求證：+≥。

分析：已知條件非常簡單，按常規思維無從入手，我們試著逆向探索，姑且假設結論成立，一步步把問題轉化，由果溯源，則找到解決問題的途徑。

事實上，若假定+≥成立，則有a+b+2+c+d≥a+2ac+c+b+2bd+d≥ac+bd（a+b）（c+d）≥（ac+bd）ac+ad+bc+bd≥ac+2abcd+bd（ad-bc）≥0。

因為（ad-bc）是非負數，所以（ad-bc）≥0成立，又因為上面的推理每一步都可逆，故可證得原不等式成立，并且易知，當ad=bc時，不等式才取等號。

在問題的已知條件過于簡單，而且條件與結論難以直接溝通的情況下，如果只從正向思考，定會陷入僵局。反之，逆向追溯，往往給人柳暗花明、耳目一新之感，有利于激發學生學習興趣，拓展學生的解題思路，活躍靈感，提高解決問題的能力。

三、改變角度，運用補集

著名物理學家伽利略說過：“科學是在不斷改變思維角度探索中前進的。”我們在解決數學問題時，也要善于改變思維角度，當遇到數學問題正向求解繁瑣，甚至不能求解時，考慮逆向探求，運用補集思想，間接求解。所謂運用補集思想就是視要解決的問題為集合A，先考慮其補集CA的情況，求得補集，再利用U=A∪（CA），由所得的結果反推出A，從而達到求解的目的。

例3：已知b是實數，函數f（x）=x+bx+4，如果函數y=f（x）在區間［-1，1］上沒有零點，求b的取值范圍。

分析：本題如果直接求解，必須考慮f（x）=0在△＜0，△≥0-＜-1f（-1）＞0和△≥0-＞-1f（1）＞0三種情況才能綜合求得b的取值范圍。改變思維角度，從其補集入手，則可避免討論。

y=f（x）在區間［-1，1］上“沒有零點”的集合之補集則為y=f（x）在區間［-1，1］上“有零點”的集合。設函數y=f（x）在區間［-1，1］上有零點（因為根據韋達定理可知道，由f（x）=0有xx=4。若y=f（x）在［-1，1］上有兩個零點，則|xx|≤1，顯然矛盾。所以也只有一個零點）。

由函數性質可知，a＞0，其圖像開口向上，故y=f（x）在［-1，1］上有零點的充要條件是f（-1）f（1）≤0。即（5-b）（b+5）≤0，此時解得b的取值范圍為（-∞，-5］∪［5，∞）。

由補集反推，當-5＜b＜5時，y=f（x）在［-1，1］上沒有零點。也就是原題目所求的b的取值范圍為（-5，5）。

有些數學問題的條件比較簡單，而結論卻比較復雜或不很明確，這些題目難以直接求解。這時應用逆向思維，從題目結論的“補集”入手，會增加推導的條件，或者供所考慮的情形較為簡單，使推導較易進行，避免陷入困境，突破定勢，發散思維，實現創新。

四、變換主元，反客為主

人們受思維定勢影響，在解題時，總是把注意力集中在某些地位比較醒目的主元素上，這在很多情況下是正確的。但是在某些特定的條件下，若能變換主元，反客為主，常能取得出人意料的效果。

例4：已知a∈R且0＜a＜1，求證：對于x＞0，x≠1時，都有不等式2lg＜lg恒成立。

分析：根據對數的性質可知要原不等式成立，即＜成立，也就是證明（a-3a）x+2ax+（2a-2）x+2x-2＜0（※）

學生由于思維定勢，易把此題看成關于x的不等式討論，則（※）是關于主變元x的四次不等式，再證下去，思路受阻。但（※）式中有兩個變元，參變元a的最高次是2，我們變換主元，反客為主，把a看作主元，則從原來的四次式轉化為關于a的二次式，即令g（a）=xa-（3x-2x-2x）a-2（x-x+1），a∈（0，1），問題轉證g（a）＜0則能柳暗花明。

事實上，關于a的二次函數g（a）是開口向上的拋物線，有g（0）=-2（x-x+1）=-2x-+＜0。由x＞0，x≠1，有g（1）=-2（x-1）（x+x+1）＜0，故有g（a）在a∈（0，1）上恒為負，也就是說g（a）＜0在（0，1）上恒成立，則（※）式成立。

由此可推得原不等式2lg＜lg恒成立。

本題的關鍵是變換主元，以參數a作為自變量而構造函數式，不但降次，還將不等式問題轉變成二次函數在某閉區間上的值的問題，化繁為簡，出奇制勝。在一個含有多個變量的數學問題中，確定合適的變量和參數是關鍵，往往一反常態，反客為主，使問題更明朗化，更具有靈活性，能巧妙地解決問題。這樣在解題過程中不斷挖掘學生的潛在意識，而不讓學生的思維只注意在某一點上，導致解題思路擱淺，從而啟發學生思維多變，培養學生發散思維，有利于創造力的發展。

五、揭示規律，逆用關系

不但是數學定義、公式、法則、定理可逆，有的函數也可逆。且當函數存在反函數時，互為反函數之間存在著值域和定義域互換性關系，即f（a）=bf（b）=a；奇函數的反函數仍是奇函數;在相應區間上，增（減）函數的反函數依然是增（減）函數。所以在求解函數問題中，當正面思考受阻或按常規方法不勝其煩時，能在對通法的深思中把握規律，逆用反函數關系，也就是利用函數與反函數之間的定義域、值域、單調性、奇偶性等關系，把求與原函數（反函數）有關的問題轉化為求與反函數（原函數）有關的問題，則能使問題迎刃而解，收到事半功倍之效。 例5：求函數y=的反函數的值域。

分析：解本題的常規思路為先求反函數，再考察式子的取值范圍得出所求函數的值域，顯然繁雜。但若利用互為反函數的兩個函數間定義域與值域的關系，則能使問題解決得簡潔、明快。

例6：已知函數y=f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=3-1。設f（x）的反函數是y=g（x），則g（-8）=。

分析：本題在解決過程中學生容易想到的是用直接法求解，即先求得函數的反函數，再求反函數的函數值。但若應用互為反函數間關系，則可簡便求解。

y=f（x）是奇函數，所以其反函數y=g（x）也是奇函數，先求g（8），即令3-1=8，解之得x=2，也就是g（8）=2，因此g（-8）=-g（8）=-2。

應用這些關系可以免求反函數關系式，當函數的反函數比較難求時，應用這些關系求解顯得更為簡捷。但值得注意的是并非函數的反函數都存在，這考查學生掌握知識的完備性，加深學生對知識的理解，培養學生思維的靈活性，促進創造性思維能力發展。

六、逆向觀察，以退為進

對于一些數學問題，情景較復雜，感到“進”有困難，或無路可“進”時，我們逆向觀察，善于聯想，不妨運用“退”。從復雜退到簡單、從抽象退到具體、從一般退到特殊的情況中，使思路明朗，尋找解答方法，再回到原問題中求解。正如著名數學家華羅庚先生曾經說過：“復雜的問題要善于退，要足夠地退，退到我們容易看清楚的地方，認透了，鉆深了，然后再上去。”總之，我們要想方設法盡可能地退到一個能解決問題的平臺上，以退為進達到解決問題的目的。

例7：已知a，a，…，a，a都是正數，求證：

（n）-≤（n+1）-。

分析：求證式子比較復雜，并且已知條件與求證內容之間的聯系不太明顯，直接推進似乎無路可“進”，我們試著“退”來考慮。

退一步：當n=2時，2-≤3-①

化簡：-2≤a-3，即3-2≤a，

兩邊除以a（a＞0）得：3-2≤1（由于a，a，a都是正數，則＞0）。

又退一步：令=m（m＞0）代入上式得：3m-2m≤1②

分三種情況進行推理②式成立。

（1）m=1時，3m-2m=3-2=1，所以②式成立。

（2）當m＞1時，因為m＞1，m＞m，所以有2m＞1+m。又因為1+m=，m-1＞0，所以2mm-1＞m-1，即3m-2m≤1，所以②式也成立。

（3）當時0＜m＜1，因為m＜1，m＜m，所以有2m＜1+m=，又因為1-m＞0，所以2m1-m＜1-m，即3m-2m≤1，所以②式也成立。

綜合以上（1）、（2）、（3），說明m為任何正數時②式都成立。

進一步：把m=＞0代入②式，即可證明①成立。

再進一步：當n=3，原式為3-≤4-時，照上述方法同樣可以證明式子成立。

更進一步：類推當得n=4，5，…，n時等式都成立，也就是所求的等式成立。

有些題目難以直接獲得解題途徑時，“退一步海闊天空”。善于“退”，退中求進，觀察特例，獲得啟發和靈感，先解決簡單的情形，再“進”而解決一般情形，這不僅是逆向思維謀求解題途徑的良策，而且能使學生的思維不停留在原來的知識表面上，深化知識的縱橫聯系，提高知識的運用能力，培養敏銳的觀察力，激發的創新意識。

綜上可知，逆向思維在數學解題中有不可忽視的作用，它不但能開拓學生解題思路、打破思維定勢、簡化運算過程、提高解題速度，而且有利于學生形成良好的認知結構，有利于培養學生思維的靈活性和創造性，是促進學生創新精神的養成和創新能力的提高的有效途徑。我們在解題教學中，應注意引導學生認真審題，根據題中的條件、結論正反分析，觀察正反面限制條件的強弱，靈活運用轉換角色，反面求證；逆向思考，執果索因；改變角度，運用補集；變換主元，反客為主；揭示規律，逆用關系；逆向觀察，以退為進等逆向思維方式的方法，養成雙向考慮問題的良好習慣，從而克服定勢，拓展思維，培養創新能力，使之培養成為富于探究和創新精神的新型人才。

參考文獻：

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［2］裘桂紅.退一步海闊天空.高中數學教與學，2007，（09-189）.

［3］王林全主編.中學數學思想方法概論.暨南大學出版社，2003.3.