Ｎｅｗｔｏｎ分形的原理及Ｍａｔｌａｂ實(shí)現(xiàn)

摘要:詳細(xì)推導(dǎo)了復(fù)平面上Newton迭代法的原理和計(jì)算公式，用MATLAB編制程序?qū)崿F(xiàn)了Newton迭代算法，得到了一些奇異、絢麗的分形圖形。對(duì)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞:Newton迭代法;分形;Matlab;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào):TP312文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1009-3044(2009)24-6997-03

The Principles of Newton Fractal and it's Realization Using MATLAB

ZHANG Jian， XU Cong-quan， FU Yong-zhi

(Department of Basic Courses， Southwest Forestry College， Kunming 650224， China)

Abstract: The Principles and formulas of Newton fractal was explained，fractal graphics of Newton iteration was created using Matlab.

Key words: newton iteration; fractal; Matlab; mathematical experimental

分形是非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支，應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的眾多領(lǐng)域。其中，分形圖形以其奇異、絢麗多彩的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于紡織印染、廣告設(shè)計(jì)、裝潢設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)美術(shù)教學(xué)等領(lǐng)域[1]。

很多分形圖形都是用迭代的方式實(shí)現(xiàn)的，Newton迭代法就是其中的一種。由Newton迭代法產(chǎn)生的分形圖形稱為Newton分形[2]。很多文獻(xiàn)都對(duì)Newton分形進(jìn)行了介紹，但都沒有詳細(xì)的計(jì)算公式和算法說明，讀者很難編制相應(yīng)程序。本文詳細(xì)介紹了復(fù)平面上Newton迭代法的原理和計(jì)算公式，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)算法，并用Matlab編制程序?qū)崿F(xiàn)了Newton分形的繪制，生成了一些奇異、瑰麗的分形圖形。

由于國內(nèi)高校《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程大多采用Matlab軟件，同時(shí)很少涉及分形圖形的實(shí)驗(yàn)，因此，Newton分形的Matlab實(shí)現(xiàn)可以豐富《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的內(nèi)容，對(duì)數(shù)學(xué)類、計(jì)算機(jī)類、藝術(shù)類學(xué)生和教師有一定的參考價(jià)值。

1 Newton迭代法

17世紀(jì)，牛頓創(chuàng)立了一種依靠簡(jiǎn)單迭代計(jì)算求方程f(x)=0的根的方法[3]:

任取一點(diǎn)x0，利用公式(1)進(jìn)行迭代，若存在，則序列xt收斂于方程f(x)=0在x0附近的一個(gè)根。

我們把復(fù)數(shù)z應(yīng)用到公式(1)上，就得到了復(fù)平面上的Newton迭代公式:

現(xiàn)在，取一個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)f(z)=zn-1，則f(z)的一階導(dǎo)數(shù)f’(z)=nzn-1，代入公式(2)得:

根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示式，可記zt為:

zt=xt+iyt=|zt|(cosθ+isinθ) (4)

其中，稱為復(fù)數(shù)zt的模，θ為復(fù)數(shù)zt的輻角的主值，-π≤θ≤π。

輻角主值θ的計(jì)算方法如下[1]:

由復(fù)變函數(shù)知識(shí)可知:

將(5)、(6)兩式代入(3)得:

即有:

(8)

式(8)就是編寫程序時(shí)需要的迭代計(jì)算公式。

2 Newton分形的生成算法

在復(fù)平面上取定一個(gè)窗口，將此窗口均勻離散化為有限個(gè)點(diǎn)，將這些點(diǎn)記為初始點(diǎn)z0，按公式(8)進(jìn)行迭代。其中，大多數(shù)的點(diǎn)都會(huì)很快收斂到方程f(z)=zn-1的某一個(gè)零點(diǎn)，但也有一些點(diǎn)經(jīng)過很多次迭代也不收斂。為此，可以設(shè)定一個(gè)正整數(shù)M和一個(gè)很小的數(shù)δ，若果當(dāng)?shù)螖?shù)小于M時(shí)，就有兩次迭代的兩個(gè)點(diǎn)的距離小于δ，即

則認(rèn)為z0是收斂的，即點(diǎn)z0被吸引到方程f(z)=zn-1=0的某一個(gè)根上;反之，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到了M，而|zt+1-zt|>δ時(shí)，則認(rèn)為點(diǎn)z0是發(fā)散(逃逸)的。這就是逃逸時(shí)間算法的基本思想。

當(dāng)點(diǎn)z0比較靠近方程f(z)=zn-1的根時(shí)，迭代過程就很少;離得越遠(yuǎn)，則迭代次數(shù)越多甚至不收斂[2]。

由此設(shè)計(jì)出函數(shù)f(z)=zn-1的Newton分形生成算法步驟如下:

1)設(shè)定復(fù)平面窗口范圍，實(shí)部范圍為[a1，a2]，虛部范圍為[b1，b2]，并設(shè)定最大迭代步數(shù)M和判斷距離δ;

2)將復(fù)平面窗口均勻離散化為有限個(gè)點(diǎn)，取定第一個(gè)點(diǎn)，將其記為z0，然后按公式(8)進(jìn)行M次迭代。

每進(jìn)行一次迭代，按公式(9)判斷迭代前后的距離是否小于δ，如果小于δ，根據(jù)當(dāng)前迭代的次數(shù)M選擇一種顏色在復(fù)平面上繪出點(diǎn)z0;如果達(dá)到了最大迭代次數(shù)M而迭代前后的距離仍然大于δ，則認(rèn)為z0是發(fā)散的，選擇白色(也可換為其他顏色)在復(fù)平面上繪出點(diǎn)z0。

3)在復(fù)平面窗口上取定第二個(gè)點(diǎn)，將其記為z0，按第(2)步的方法進(jìn)行迭代和繪制。直到復(fù)平面上所有點(diǎn)迭代完畢。

3 Matlab程序設(shè)計(jì)

Matlab是由MathWorks公司與1984年推出的數(shù)學(xué)軟件，原意為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”。Matlab以其強(qiáng)大的功能和良好的開放性、面向問題性、易學(xué)易用等特點(diǎn)，越來越被廣大科研人員和工程計(jì)算人員以及高校學(xué)生和老師所重視[4]。國內(nèi)外《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程大多采用Matlab軟件作為計(jì)算工具，為此，我們使用Matlab編制了繪制Newton分形的程序。

程序由3個(gè)函數(shù)組成:

1)主函數(shù)newton.m:

function f = newton(n)

m=13;%迭代次數(shù)

a1=-2;%復(fù)平面窗口實(shí)部范圍

a2=2;

b1=-1.5; %復(fù)平面窗口虛部范圍

b2=1.5;

delta=0.01 %收斂判定距離

hold on

for i = a1:0.02:a2

for j =b1:0.02:b2

%對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，調(diào)用迭代函數(shù)，返回收斂時(shí)間(即判斷為收斂時(shí)的迭代次數(shù)M)

f=f_iterat(i，j，n，m，delta);

if f > 0%用7種顏色(不含白色)繪制收斂點(diǎn)

switch rem(f，7) %求f除以7的余數(shù)

case 0

plot(i，j，'b.')%藍(lán)色

case 1

plot(i，j，'c.')%青色

case 6

plot(i，j，'y.')%黃色

end

end

end

end

hold off

2)Newton迭代函數(shù)f_iterat.m:

%參數(shù)說明:(x，y)為點(diǎn)的實(shí)部與虛部，n為方程的冪次，m為最大迭代次數(shù)，delta為收斂判斷距離

function f=f_iterat(x，y，n，m，delta)

delta = 0.01;%收斂判斷距離

f=0; %賦初值為0，表示發(fā)散

for i = 1:m

p = sqrt(x*x+y*y);%計(jì)算復(fù)數(shù)的模

seta = f_arg(x，y); %計(jì)算復(fù)數(shù)的輻角

x2=((n-1)*p*cos(seta)+p^(1-n)*cos((1-n)*seta))/n;%實(shí)部

y2=((n-1)*p*sin(seta)+p^(1-n)*sin((1-n)*seta))/n;%虛部

dis = sqrt((x2-x)^2+(y2-y)^2); %計(jì)算迭代前后兩點(diǎn)的距離

if dis < delta %收斂

f=i; %返回收斂時(shí)間

break%結(jié)束循環(huán)

end

x=x2;

y=y2;

end

其中，函數(shù)f_arg(x，y)為計(jì)算復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角主值θ的函數(shù)，根據(jù)公式(5)不難寫出。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在MATLAB命令窗口中，輸入“>> newton(3)”或“>> newton(4)”，即可繪制出函數(shù)f(z)=z3-1或f(z)=z4-1對(duì)應(yīng)的Newton分形的圖形:

在圖1中，白色區(qū)域表示發(fā)散點(diǎn)所組成的區(qū)域，彩色區(qū)域?yàn)槭諗奎c(diǎn)組成的區(qū)域。收斂區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，由于收斂時(shí)間的不同，所呈現(xiàn)的顏色不同，構(gòu)成了一幅五彩斑斕、奇異復(fù)雜的圖形。

輸入其他的n，則可繪制出函數(shù)f(z)=zn-1對(duì)于的Newton分形，舉例如下:

5 結(jié)論

用VB、VC等程序設(shè)計(jì)語言編寫的Newton分形生成程序需要兩個(gè)窗口:繪圖窗口和參數(shù)窗口，然后要建立繪圖窗口到參數(shù)窗口之間的映射[5-6]。而用MATLAB編制的程序直接在參數(shù)窗口(復(fù)平面窗口)中繪圖，所編制的程序簡(jiǎn)單易懂，所繪制的圖形奇異瑰麗、絢麗多彩，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、藝術(shù)三者的結(jié)合，學(xué)生有很大的吸引力，對(duì)有關(guān)專業(yè)的教師、學(xué)生以及分形愛好者有一定的參考作用。

而且，只要稍微改動(dòng)迭代參數(shù)，如迭代次數(shù)M、判斷距離?啄、復(fù)窗口范圍等，所得到的圖形會(huì)出現(xiàn)很多意想不到的變化，很適合做為理工科《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的內(nèi)容。

參考文獻(xiàn):

[1] 秦宣云，任波.逃逸時(shí)間法生成Julia集的算法分析和具體實(shí)現(xiàn)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2007，43(5):30-32.

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