基于偏微分方程的圖像平滑方法比較研究

摘要:近年來(lái)，基于偏微分方程的圖像平滑技術(shù)受到越來(lái)越多的關(guān)注。該文詳細(xì)介紹了幾種基于偏微分方程的圖像平滑方法，進(jìn)而根據(jù)理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)幾種方法進(jìn)行比較。

關(guān)鍵詞:偏微分方程;圖像平滑;比較研究

中圖分類號(hào):TP3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1009-3044(2009)14-3804-02

The Comparison Research of Image Smoothing Method Based on PDE

WANG Zhu-xia1，2， ZANG Shun-quan1，2

(1.Xi'an Institute of Post and Telecommunications， Xi'an 710121， China; 2.Xidian University; Xi'an 710071， China)

Abstract: Recently， the image smoothing method based on PDE attract attention of more and more. In this paper，several image smoothing models based on PDE are introduced in detail. Image smoothing models arecompared according to theory analysis and experiment results.

Key words: PDE; image smoothing; comparison research

1 引言

由于獲取和傳輸過(guò)程往往會(huì)對(duì)圖像引入噪聲，使得圖像的視覺(jué)效果受到嚴(yán)重的影響，對(duì)圖像后繼處理和分析帶來(lái)很大不便。 圖像平滑作為圖像的預(yù)處理過(guò)程，平滑質(zhì)量的好壞直接影響到后繼處理和分析的結(jié)果。傳統(tǒng)的圖像平滑算法有均值濾波、中值濾波和高斯濾波等，這些方法在去噪的同時(shí)會(huì)破壞圖像的重要特征，如邊緣、紋理等。

基于偏微分方程(PDE)的圖像處理方法已經(jīng)在圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。偏微分方程方法與通常的圖像處理算法相比，雖然計(jì)算量較大，耗時(shí)較長(zhǎng)，但由于其靈活的拓?fù)鋵W(xué)結(jié)構(gòu)、廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域逐漸受到人們的重視。

圖像平滑作為圖像處理重要的環(huán)節(jié)，基于偏微分方程的圖像平滑方法得到了迅速的發(fā)展。本文在介紹經(jīng)典的基于偏微分方程的圖像平滑方法基礎(chǔ)上，詳細(xì)分析各種模型的優(yōu)缺點(diǎn)，以便為圖像平滑方法的改進(jìn)提供一些啟示。

2 整體變分(TV )平滑模型[1-2]

在基于偏微分方程方法的平滑模型中，整體變分(TV，Total Variation)模型表現(xiàn)出色。設(shè)Ω是Rn中的有界開(kāi)子集，μ為局部可積函數(shù)，其整體變分定義為

(1)

有界變差函數(shù)空間可定義為

(2)

設(shè)μ0為觀測(cè)到的圖像，于是μ0=μ+n， 則:

定義圖像的能量函數(shù):

其中λ為拉格朗日乘數(shù)。

由變分法知識(shí)，能量泛函取得極小值得必要條件是滿足Euler-Lagrange方程，即

(4)

由梯度下降法，則得到TV 平滑模型:

(5)

對(duì)|▽?duì)蘾進(jìn)行正則化，可得到正則化模型:

(6)

由有限差分法得到離散格式:

(7)

3 四階偏微分方程平滑模型

TV模型的偏微分方程是一個(gè)二階微分方程，為了解決二階偏微分方程處理時(shí)對(duì)圖像分塊產(chǎn)生的階梯效應(yīng)，可以采用四階偏微分方程。

定義圖像的正則能量為:

(8)

由變分法知識(shí)，得歐拉公式為:

(9)

則梯度下降模型為:

(10)

定義g(s)=f'(s)/s并規(guī)定:

則(10)可化為:

(11)

其離散過(guò)程為:

1)計(jì)算u的二階差分:

(12)

2)計(jì)算函數(shù)g:

(13)

3)計(jì)算函數(shù)g的二階差分:

(14)

4)離散格式為:

(15)

4 基于各向異性擴(kuò)散方程的圖像平滑

4.1 P-M模型

為了達(dá)到去噪同時(shí)保護(hù)邊緣，可以采用擴(kuò)散過(guò)程中的傳導(dǎo)系數(shù)依賴于圖像的局部特征。具體來(lái)說(shuō)，在圖像比較平坦的區(qū)域，傳導(dǎo)系數(shù)能自動(dòng)增大。這可使平坦區(qū)域中較小的起伏被平滑;而在圖像的邊緣附近，傳導(dǎo)系數(shù)能自動(dòng)減小，可使邊緣幾乎不受影響。Perona和Malik于1990年在熱傳導(dǎo)方程的基礎(chǔ)上得到了以下的各向異性擴(kuò)散模型:

(16)

其中，g(|▽?duì)蘾)規(guī)定了擴(kuò)散程度。

若g(0)=1當(dāng)s->∞時(shí)g(s) ->0。在平滑過(guò)程中，在邊緣處|▽?duì)蘾很大，g(s)很小，擴(kuò)散程度變小;在平坦區(qū)域|▽?duì)蘾很小，g(s)很大，擴(kuò)散程度變大。因此在進(jìn)行平滑時(shí)，邊緣處平滑的少，而在平坦的區(qū)域平滑的。

可取:

利用有限差分法對(duì)(16)進(jìn)行離散可得離散格式為

(17)

4.2 正則化P-M模型

Catte等人指出P-M方法是“病態(tài)”的，輸入的微小變化會(huì)導(dǎo)致輸出完全改變;Whitaker證明P-M方法處理所得的圖像受“階梯”效應(yīng)干擾，視覺(jué)效果差。

對(duì)P-M模型加以修改，得到以下正則化P-M模型

(18)

可以證明該模型為完全適定問(wèn)題，并具有以下性質(zhì):1)存在唯一的連續(xù)依賴初值μ0(x，y)的解;2)服從極值原理;3)具有灰度不變性;4)收斂于常數(shù)穩(wěn)態(tài)解，即:μ(x，y，t)-> μ(t->∞);5)具有Lyapunov泛函遞減性。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及模型比較分析

5.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1(a)-(e)分別表示原始圖像、加入高斯噪聲圖像、TV模型平滑后圖像、四階模型平滑后圖像及正則化P-M模型(Catte模型)平滑后圖像。

5.2 模型比較分析

經(jīng)理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出:

1)由于TV濾波器在去除噪聲時(shí)并不會(huì)把圖像模糊或者邊緣扭曲。TV平滑模型會(huì)出現(xiàn)噪聲抑制不充分，甚至出現(xiàn)虛假邊緣，產(chǎn)生階梯效應(yīng). TV平滑模型屬于二階PDE模型。

2)TV平滑模型把圖像變成幾個(gè)灰度值不同的色塊，四階PDE模型是將它平滑成一個(gè)灰度漸變的區(qū)域，這塊區(qū)域內(nèi)梯度恒定，雖然和真實(shí)圖像的灰度變化不一定相同但它一般不會(huì)產(chǎn)生額外的邊緣，與二階PDE的結(jié)果相比四階PDE具有更好的視覺(jué)效果。因此可以考慮用更高階的PDE來(lái)逼近真實(shí)的灰度變化。

3)P-M模型是“病態(tài)”模型，即輸入的微小變化會(huì)導(dǎo)致輸出完全改變，去噪后圖像受“階梯”效應(yīng)干擾，視覺(jué)效果差。Catte經(jīng)修正改進(jìn)后模型為適定問(wèn)題，平滑后圖像視覺(jué)效果明顯改善。

參考文獻(xiàn):

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[5] Catte F， Coll T， Lions P L， et al. Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion[J].SIAM Number. Anal，1992，29(3):182-193.