猜想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要： 猜想以舊的知識(shí)作為基礎(chǔ)，根據(jù)題設(shè)和結(jié)論的特點(diǎn)，對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理，然后在此基礎(chǔ)上提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想新的結(jié)果，最后檢驗(yàn)猜想。猜想常見的有通過類比猜想、歸納猜想、取“極限”猜想等。猜想是學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的一條捷徑，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極其重要的作用。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)猜想 結(jié)合教材 培養(yǎng)

大科學(xué)家牛頓曾經(jīng)說過：“沒有大膽的猜想，就作不出大膽的發(fā)現(xiàn)。”縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，可以說，沒有猜想就沒有數(shù)學(xué)，更沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展。因此我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教材，重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想的能力，使學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變得到落實(shí)。那么如何結(jié)合教材進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想呢？下面筆者就結(jié)合教學(xué)實(shí)踐來談一談在這方面的認(rèn)識(shí)。

一、介紹數(shù)學(xué)猜想，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

猜想以舊的知識(shí)作基礎(chǔ)，推測猜想新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，如通過空間與平面、向量與數(shù)、無限與有限、不等與相等的類比，可以從熟悉的知識(shí)（平面、數(shù)、有限、相等）中得到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以研究的問題及研究方法。猜想思維過程一般為：具體問題→推理→聯(lián)想→形成一般命題→結(jié)論的猜想→證明。為了幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)猜想，教師可以通過課外活動(dòng)、數(shù)學(xué)講座等各種途徑有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的觀察、表達(dá)、類推、歸納、分析、綜合等能力，介紹數(shù)學(xué)猜想及其成果；可以結(jié)合數(shù)學(xué)史向?qū)W生介紹一些著名的猜想，如哥得巴赫猜想、歐拉猜想，介紹數(shù)學(xué)家們?yōu)楣タ瞬孪胨冻龅木薮笈瞳I(xiàn)身精神，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)猜想的興趣。

二、借助不同方法提出猜想

數(shù)學(xué)猜想雖然不像邏輯推理那樣嚴(yán)密，但科學(xué)的猜想并不是漫無目的的胡猜瞎碰，應(yīng)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論的特點(diǎn)，對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理，然后在此基礎(chǔ)上提出有規(guī)律性的結(jié)論即猜想，最后檢驗(yàn)猜想。數(shù)學(xué)猜想在現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材經(jīng)常以“議一議”、“你發(fā)現(xiàn)了什么”、“猜一猜”等形式出現(xiàn)，教材中的很多性質(zhì)、公式都是這樣“猜”出來的。數(shù)學(xué)猜想的方法較多，下面結(jié)合現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材介紹幾種較常用的猜想方法。

1.通過歸納提出猜想

在學(xué)習(xí)過程中我們經(jīng)常會(huì)遇到一些一時(shí)無法解決的問題，這時(shí)我們可先將其特殊化，即通過觀察問題的特例，找出這些特例的共性，根據(jù)這個(gè)共性去猜想原問題應(yīng)具有的性質(zhì)或結(jié)論。

例如北師大版教材選修2—2第四頁例2：如果面積是一定的，什么樣的平面圖形周長最小，試猜測結(jié)論。

解：考慮單位面積的正三角形、正四邊形、正六邊形、正八邊形，它們的周長分別記作P3、P4、P6、P8，可得下表：

歸納上述結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：面積一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，周長越小。于是得到猜想：圖形面積一定，圓的周長最小。

2.通過類比提出猜想

當(dāng)兩個(gè)問題在某些方面，如條件、結(jié)構(gòu)相似時(shí)，我們可以由其中的一個(gè)問題已知的屬性去猜想另一個(gè)問題也具有相似的屬性。如在平面幾何中，三角形是邊數(shù)最少的封閉多邊形，在空間中，四面體是面數(shù)最少的封閉多面體，在學(xué)習(xí)多面體時(shí)，就可以通過類比三角形的性質(zhì)得到四面體的一些性質(zhì)。

例如北師大版選修2—2第五頁例3：已知“正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和是一個(gè)定值”，將空間與平面進(jìn)行類比，空間中什么樣的圖形可以對(duì)應(yīng)正三角形？在對(duì)應(yīng)圖形中有與上述定理相應(yīng)的結(jié)論嗎？

解：將空間與平面類比，正三角形對(duì)應(yīng)正四面體，三角形中的邊對(duì)應(yīng)四面體的面。得到猜測：正四面體內(nèi)一點(diǎn)到四面距離之和是一個(gè)定值。為了證明這個(gè)猜想，可以分析原結(jié)論的證明方法面積法，那么猜想的證明可以考慮用體積法。

總結(jié)以上猜想過程，可以看出類比猜想的思維步驟是：聯(lián)想—類比—猜想—證明。我們把兩個(gè)問題相似的各個(gè)方面如條件、結(jié)構(gòu)通過類比，就可以得到相似的結(jié)論，因此通過類比猜想去發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解決問題應(yīng)是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一條重要的捷徑。

3.通過取“極限”提出猜想

由于世界萬物都是運(yùn)動(dòng)的，“動(dòng)”與“靜”是相對(duì)的，從辯證唯物主義觀點(diǎn)出發(fā)，我們可以把一些“運(yùn)動(dòng)的”變化問題轉(zhuǎn)化為“靜止的”不變的問題，然后根據(jù)“靜止的”問題所具有的性質(zhì)猜想出“運(yùn)動(dòng)的”問題所具有的性質(zhì)。如人教版教材高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B）9.11球，這節(jié)中的球的表面積公式的推導(dǎo)，它通過，當(dāng)“小椎體”的底面（曲面）非常小時(shí)(變化的)，把“小椎體”的底面猜想為幾乎是“平”的（不變的），從而得到球的表面積公式。由此可見，用取“極限”提出猜想的方法來發(fā)現(xiàn)和解決問題，把看似難以入手的問題簡單化，從而使問題得以解決。“量變引起質(zhì)變”正是“極限”思想的本質(zhì)所在，它是我們解決數(shù)學(xué)問題又一重要的思想方法。

三、加強(qiáng)猜想訓(xùn)練，提高解題能力

四、應(yīng)用數(shù)學(xué)猜想，提高解題速度

本題若用三角公式及不等式來處理，將有很大的運(yùn)算量，且非常耽誤時(shí)間，而這是高考選擇題所不允許的。若我們對(duì)它取“極限”進(jìn)行猜想，則答案就顯而易見：取α=β→0，則α+β→0，此時(shí)sin（α+β）→0，cos（α+β）→1，對(duì)于A有0＞0，對(duì)于B有0＞2，對(duì)于C有1＜0，對(duì)于D有1＜2，因此A、B、C不成立，所以選D。

五、結(jié)合猜想教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)良品質(zhì)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)猜想只有敢于探索、敢于創(chuàng)新才會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，因此要鼓勵(lì)學(xué)生具有大膽猜想，勇于開拓的精神；同時(shí)又要使學(xué)生具有科學(xué)家們頑強(qiáng)奮斗、不怕失敗，勇于拼搏的精神，這也正是《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的情感態(tài)度與價(jià)值觀的具體體現(xiàn)。

總之，在教學(xué)過程中教師應(yīng)經(jīng)常有意識(shí)地把課本上的例題、習(xí)題及課外的題目進(jìn)行歸類、比較，并把它們適時(shí)地展示給學(xué)生，從而給學(xué)生創(chuàng)造和提供一個(gè)良好的數(shù)學(xué)猜想的環(huán)境和機(jī)會(huì)，經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，一定能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］北師大版教材：選修2-2.

［2］人教版教材：高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）、（下B）.

［3］楊省吾.解題與猜想.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1995，（6）.

［4］2003年全國高考數(shù)學(xué)（文科）卷第15題.

［5］2005年北京高考數(shù)學(xué)（理科）卷第5題.

［6］2007年高考理科數(shù)學(xué)（湖南卷）第15題.

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