反饋控制實現Ｌｏｒｅｎｚ系統混沌同步

摘要：該文對Lorenz混沌系統的同步問題進行了理論分析，并進行線性反饋控制設計，基于Lyapunov函數提出了反饋控制同步規則，仿真結果證實了規則的可行性及有效性。

關鍵詞： Lorenz混沌系統；線性反饋；同步

中圖分類號：O415文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2009)04-0950-04

A Feedback Approach to the Control and Synchronization of Lorenz System

ZHAO Dan-qing

(Center of Computing and Experimenting， SCUFN， Wuhan 430074， China)

Abstract: In this paper the synchronization problem of Lorenz chaotic system is studied.Two Linear feedback control rules are derived based on Lyapunov functions. Simulation results show the effectiveness of these rules.

Key words: lorenz chaotic system; linear feedback; synchronization

1 引言

混沌現象是當前非線性科學及其交叉領域的一個重要課程和熱點。由于混沌信號具有復雜的、不可預測及對初始條件及其系統參數變化的高度敏感性的行為特性，而且有實現同步的可能性，因此在通信領域中具有廣闊的應用前景。混沌同步是實現混沌通信的關鍵。近年來，混沌同步控制方法不斷涌現，出現了各種實現混沌信號同步控制的機理和方法[1-4]。

Lorenz系統是一種典型的混沌系統，具有混沌系統的很多特征，它主要由三個非線性微分方程組成。

■ （1）

在（1）式中，x，y，z是狀態變量，σ>0，ρ>0，β>0是參數。當σ=10，ρ=28，β=8/3時呈現混沌態（其混沌行為如圖1所示）。

本文以Lorenz系統為例，針對混沌同步問題進行分析，利用反饋控制的思想，提出了兩種同步控制規則，并進行了仿真驗證。

2 混沌同步的定義及反饋控制思想

2.1 混沌同步的定義

考慮如下兩個非線性動力系統：

■

其中x，y∈Rn分別為系統的狀態變量，F，F'：[R+×Rn]->Rn為非線性映射，U：[R+×Rn×Rn]->Rn為同步控制量，R+為非負實數集。

如果存在：■成立，則系統（1b）和系統（1a）同步，稱系統（1a）為驅動系統，系統（1b）為響應系統，D(t0)為同步區域。

2.2 反饋控制思想

考慮非線性自治系統■=f(x)，式中■ 選取Lyapunov函數V≥0，如果存在反饋控制μ=g(x)，使■≤0，等號當且僅當xi=0時成立，那么原非自治系統零解漸近穩定。本文利用這一思想提出和證明了Lorenz系統線性反饋實現同步的兩種控制規則。

3 線性反饋實現同步

3.1 反饋控制規則Ⅰ

設Lorenz系統（1）為驅動系統，響應系統為：

■ （2）

則由式（1），式（2）得受控誤差系統為：

■ （3）

設受控響應系統與驅動系統間的狀態誤差為ex=■-x，ey=■-y，ez=■-z則受控誤差系統可寫為：

■（4）

顯然，若誤差系統（4）的零解漸近穩定，則（1），（2）系統同步。

選取正定Lyapunov函數為■

則■ ，將（4）式代入得：

■（5）

為分析問題的簡單化，希望在計算過程中不出現eyez項，則可設控制規則為：

■ （6）

其中σk1， σk2， σk3，k4，k5，k6，k7均為反饋系數，將（6）代入到（5）中得：

■

其中，e=[exeyez]T，

■

要使（4）式零解漸近穩定，要求■負定，即要求P正定，則要求下面三個不等式成立：

■ （7）

由于z，y皆為狀態變量，其變化規律具有不確定性，因此參數k2，k5，k3，k7也具有不確定性，此處不防令k2+k5=1+ρ，k3=k7=0，則控制規則（6）簡化為：

■ （8）

且不等式組（7）簡化為：

■ （9）

由于混沌軌跡相平面的有界性，設Mly>|y|， Mlz>|z|，常數Mly和Mlz總是存在的。故不等式組（9）成立的充分條件為：

■ （10）

為了便于討論，設定k6=-β+1，則不等式組(10)又可簡化為：

■ （11）

由1+k1>0，■，可知，1+k4>0，由σ>0，Mlz>0，故1+σ+Mlz>0

令 ■（12）

令 ■（13）

綜上，可得到一組線性反饋控制規則：

■（14）

3.2 反饋控制規則Ⅱ

設Mly>|y|， Mlz>|z|，則采用線性反饋控制：■可以實現系統（1）和系統（2）的同步，其中：■。

證明：將控制規則代入誤差系統（4），得到：

■（15）

選取正定Lyapunov函數■

則 ■，將（3）式代入得：

■

其中，e=[exeyez]T，

■ 。

要使式（15）零解漸近穩定，則要求下面3個不等式成立：

■ （16）

由于Mly>|y|， Mlz>|z|，且根據混沌軌跡相平面的有界性，常數Mly和Mlz總是存在的。故不等式組（16）成立的充分條件為：

■（17）

聯立得到：■ 時，P正定，式（15）零解漸近穩定，Lorenz系統（1）和（2）達到同步，定理得證。

4 仿真驗證

4.1 對于反饋控制規則Ⅰ的仿真

對于控制規則Ⅰ，選取σ=10，ρ=28，β=8/3，驅動系統初值取(0.2，0.4，-0.3)，響應系統初值取(-0.1，0.2，0.1)。利用四階龍格——庫塔算法在MATLAB上進行仿真，得到兩同步系統之間的誤差變化曲線如圖2。

4.2 對于反饋控制規則Ⅱ的仿真

對于控制規則Ⅱ，選取σ=10，ρ=28，β=8/3，驅動系統初值取(0.5，10，10)，響應系統初值取(10.5，20，38)。利用四階龍格——庫塔算法在MATLAB上進行仿真，得到兩同步系統之間的誤差變化曲線如圖3。

■

圖2圖3

5 結語

本文基于反饋控制思想，利用Lyapunov函數推導出Lorenz混沌系統的兩種控制規則，實現了兩個Lorenz混沌系統的同步，并使用Matlab軟件做數值仿真，驗證了規則的正確性。

參考文獻：

[1] 陶朝海，陸君安，呂金虎.統一混沌系統的反饋同步[J].物理學報，2002，51(7):1497-1501.

[2] 陶朝海，陸君安，陳士華.Lorenz混沌系統的錯位自適應控制[J].系統工程與電子技術，2004，26(1):81-82.

[3] 王燕舞，關治洪，王華.自適應控制實現混沌同步[J].系統工程與電子技術，2004，26(2):219-221.

[4] 王燕舞，關治洪，王華.基于單變量耦合控制的混沌同步研究[J].信息與控制，2003，32(2):185-188.