勾股定理及其逆定理的應用

勾股定理及其逆定理是初中數學的重要內容，也是中考熱點內容之一，由此引出了一些極富創造性的新型試題。下面以近幾年中考題為例，為同學們介紹勾股定理及其逆定理的應用，希望對大家的學習有所幫助。

一、判斷三角形的形狀

例1已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，試判斷△ABC的形狀。

解析要判斷△ABC的形狀須先求出三邊a，b，c的長，再利用勾股定理逆定理進行判斷。

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0。

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，∴a-3=0，b-4=0，c-5=0。即a=3，b=4，c=5。

∴a2=9，b2=16，c2=25，則a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形。

點評在由一個等式求三角形的三邊長時，往往把等式化為A2+B2+C2=0的形式，再由A＝0，B＝0，C＝0，求得三角形三邊之長，最后利用計算來判斷△ABC是不是直角三角形。

二、探索勾股數

例2觀察下面的表格所給出的三個數a，b，c，a＜b＜c。

⑴試找出它們的共同點，并說明你的結論；

⑵當a=21時，求b，c的值。

解析只要能夠發現每組內三個數之間的規律即可，而這需要從不同的角度去觀察，運用從特殊到一般的思想來分析。

⑴各組數的共同點是:

①各組數均滿足a2+b2=c2;

②最小數(a)是奇數，其余的兩個數b，c是連續的正整數；

③最小奇數的平方等于另外兩個連續正整數的和。

由以上特點我們可猜想并說明這樣一個結論：設x為大于1的奇數，將x拆分為兩個連續正整數之和，即x2=y+(y+1)，則x，y，y+1就構成一組勾股數。

∵ x2=y+(y+1)(x為大于1的奇數)，∴x2+y2= y+(y+1)+y2=y2+2y+1=(y+1)2，

∴ x，y，y+1是一組勾股數。

⑵運用以上結論，當x=21時，212=441=220+221， ∴b=220，c=221。

點評此題的實質是揭示了尋找勾股數的一種方法：先選一個大于1的奇數，然后把這個奇數的平方寫成兩個連續正整數的和，則由這個奇數和分成的兩個連續正整數就構成了一組勾股數，運用此法可以得到許多勾股數。……