多變量半參數方法對股市風險持續性的識別

摘 要:金融市場具有風險持續性特征。受一元半參數方法的啟發，通過構建多元隨機波動模型(MLMSV)對多元市場波動的長記憶特征進行描述。在此基礎上，借助MLMSV模型的譜表示可以得到估計長記憶參數的多變量半參數方法。通過滬深股市數據驗證，表明我國股市波動長記憶參數的估計適宜采用多變量半參數方法進行分析。

關鍵詞:長記憶性;MLMSV模型;多變量半參數估計;股市風險

中圖分類號:F830.9 文獻標識碼:A 文章編號:1006-3544(2009)05-0061-04

一、研究現狀

現代金融市場中， 不同市場間或不同資產的波動之間往往存在著一定的相關關系， 隨著世界金融市場的飛速發展，這種聯系愈加緊密。為了分散、化解金融風險，需要對多個資產進行組合以對沖風險，而這要建立在對多個變量波動的相關分析基礎之上。因此，需要研究多個變量的波動與風險特性，把一元波動模型向多元波動模型進行擴展。

Bollerslev等(1988) [1] 通過對一元GARCH模型進行推廣得到了多元GARCH模型(MGARCH)。但對標準MGARCH模型而言， 隨著資產數量的增加，模型的參數空間維數增大， 這將無法保證協方差矩陣的正定性。Bollerslev(1990) [2] 對原始模型進行簡化，提出了常數條件相關的GARCH模型。隨后，李漢東和張世英 [3] 在MGARCH模型框架下，從理論角度討論了條件方差持續性對組合投資的影響; 韋艷華和張世英 [4] 結合Copula技術和GARCH模型，提出了多元Coupula-GARCH模型用于資產投資組合的VAR分析，并利用上海股市數據驗證了模型的有效性。在對模型參數的估計上， 上述研究都采用了極大似然估計等參數估計方法。 在隨機波動模型的多元建模方面，Danielsson [5] 研究了多元SV模型(MSV)，并對二元SV模型和二元GARCH模型在參數復雜性上進行了比較，發現MSV僅包含8個參數，而MGARCH包含了21個參數，顯示出了MSV模型的優越性。隨后，MSV獲得了廣泛應用。Harvey等(1994) [6] 給出了估計多元SV模型的QML方法。針對QML估計效力較低的缺點，Jacquier等(1995) [7] 建議采用馬爾可夫鏈蒙特卡羅模擬(MCMC)估計多元SV模型的參數。

另一方面，金融資產收益的波動還具有長記憶性。但現有關于多元長記憶時間序列波動模型的研究甚少。So(2006)[8] 提出了多元LMSV模型(MLMSV)， 并推廣一元LMSV模型的統計性質到多元情形，實證了MLMSV模型的優越性。不僅如此，So[8] 還利用譜似然函數的精確形式求解了MLMSV模型的參數， 并驗證了該方法對外匯市場數據的有效性。蘇衛東和張世英 [9] 利用MLMSV模型的譜似然方法研究了滬深股市波動的長記憶特征， 發現MLMSV模型的擬合效果要優于一元LMSV模型。

從現有研究來看，對MLMSV模型參數的估計大多采用了參數估計方法， 即同時估計模型的所有參數。該方法存在兩方面缺陷:其一，參數過多，計算十分復雜，蘇衛東和張世英 [9] 建立了11個參數的模型，而So等 [8] 所建立模型的參數也達到了13個;其二，若短期動力學行為識別不當， 得到的估計量具有不一致性。 本文主要研究了多個金融時間序列波動的長記憶性，旨在得到長記憶參數的精確估計值。針對參數對短記憶動力學行為敏感的缺陷， 我們采用半參數方法估計了MLMSV的長記憶參數。半參數法由于利用了譜函數在原點的表達式， 能夠忽略短記憶行為的影響而獲得漸近一致的估計。

二、多元長記憶隨機波動模型

考慮具有T個觀測值的k維向量時間序列rt= [r1t，…，rkt]'，rit表示第i種資產在時刻t的收益，則具有參數d=[d1，…，dk]'的多元長記憶隨機波動模型(MLMSV)可表示為:

rit=zitexp(0.5 hit);i=1，2，…，k;t=1，2，…，n (1)

(一)統計性質

根據Ravishanker和Ray的結果 [10] ，多元ARFIMA過程ht的自相關函數可借助多元ARFIMA(0，d，0)的自協方差函數進行推導。根據ht和zt獨立，可得互相關 ρ(rit+s，rjt)為:

其中，xt=[x1t，…，xkt]'，?孜t=[?孜1t，…，?孜kt]'。

由ht和zt獨立，ht和ξt獨立，即MLMSV過程xt為多元ARFIMA過程ht附加一個獨立非正態噪聲ξt。

(三)譜密度

考慮MLMSV模型的波動方程，有

ht=D-1(L)?椎-1(L)?專(L)ut(7)

將式(7)代入式(5)，得到:

?椎(L)D(L)-1(xt-?滋)=?專(L)ut+?椎(L)D(L)ξt (8)

由ht和zt獨立，ht和ξt獨立，且Θ(L)ut和Φ(L)D(L)ξt分別為多元MA(q)和多元MA(∞)過程。根據Ansley(1977)的結論 [11] ，兩個不相關多元MA過程之和仍為多元MA過程，且階數取兩個MA過程中較大的一個。因此，xt為多元ARFIMA(p，d，∞)過程，這表明xt和ht具有相同的長記憶參數d。

利用譜展式定理 [9] ，可知xt的譜密度f(λ)滿足

根據得到的譜密度表達式，可以進行多變量譜似然估計的求解。但就估計長記憶參數這一目標而言，短記憶結構識別不當，會造成長記憶估計的不一致性。為了精確估計多元波動的長記憶參數，引入半參數方法。

三、 多變量半參數估計

由于xt為多元ARFIMA(p，d，∞)過程，且ARFIMA(p，d，∞)中的MA(∞)成分可由一個低階MA(q*)逼近(q*為有限正數)。因此，可假定

關于一致性的證明可以從Robinson(1995b) [13]的單變量情形進行推廣，而對漸近正態性的證明，可直接根據Lobato(1999) [14] 的證明過程得到。

四、實證分析

其中，s2表示rt的樣本方差，?子為小常數。Fuller(1996) [15] 建議，取?子=0.02。

為了描述方便，記上證綜指的日收益、絕對收益、平方收益和對數平方收益分別為shr、ashr、sshr和lshr，深成指的日收益、絕對收益、平方收益和對數平方收益分別為szr、aszr、sszr和lszr。圖1給出了shr、szr的頻率直方圖和正態概率圖。

從圖1明顯可以看出，滬深股市的收益序列不滿足正態性假定。 頻率直方圖表明兩市呈現出極為顯著的尖峰態， 且Q-Q正態概率圖也明顯不成一條直線。進一步，采用Jarque-Bera檢驗，其統計量為:

進而， 采用Ljung-Box方法檢驗序列的相關性。表1給出了股指收益和波動10階滯后的Ljung-Box Q統計量值。

從表1的結果來看， 收益率序列的自相關性較弱，而對波動序列而言，三種波動替代序列的Q統計量的p值都幾乎為0， 表明了波動序列存在顯著的相關性。

在進行多變量半參數分析之前， 首先觀察滬深股市波動序列的自相關函數圖，如圖2所示。

從圖2可以看出，滬深股市的波動序列除了存在顯著的自相關外，在互相關的表現上更加顯著。這表明我國股市波動長記憶參數的估計適宜采用多變量半參數方法進行分析。

進一步，利用本文提出的多變量半參數方法，對滬深股市的波動序列進行多元長記憶性分析， 我們僅給出有關長記憶參數估計值的結果，見表2。

從表2可以看出，對固定的帶寬值T0.5，多元半參數估計顯示了良好的效果。從估計結果來看，采用多元半參數估計進行分析之后， 基本上可以接受滬深兩市波動的長記憶強度一致的結論。

五、結論

本文考慮到不同股票市場股價波動間的相關關系， 引入波動的長記憶性來研究中國股市波動序列的多元建模問題。 基于多元長記憶隨機波動(MLMSV)模型，提出了一種估計向量長記憶參數的半參數方法。首先，利用譜展式定理求解MLMSV模型的譜密度陣;接著，根據半參數思想對得到的譜表達式進行約簡， 使譜函數成為向量長記憶參數的直接函數; 隨后， 將約簡后的譜函數代入多變量局部Whittle似然的目標函數， 通過求解極值便可得到最終的估計值;最后，基于滬深股票市場的實際，驗證該方法的有效性。從實證分析的結果來看，滬深股市的波動序列具有長記憶性， 適宜采用多元長記憶隨機波動模型進行描述， 這與一元波動建模的結論是一致的;通過進一步觀察我們還發現，滬深兩市的記憶性強度差別不大， 可以大致認為滬深股市波動間具有相同的長記憶性。

參考文獻:

[1]Bollerslev T，Engle R，Wooldridge J. A capital asset pricing model with time varying covariance[J]. Journal of Political Economy，1988，96:116-131.

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[15]Fuller W A. Introduction to statistical time series[M]. New York:John Wiley Sons，1996.

(責任編輯:盧艷茹;校對:李丹)