稀奇古怪的三角形

在紙上畫三角形，無論怎樣畫，把三角形里面的3個角加起來，都會等于 180°即使畫100個、1000個，也絕對不會有一個例外。

那么，能不能找到一種三角形，它的內角和不等于180°呢？

19世紀初，有個叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年決定獻身于這個研究。他父親是個數(shù)學家，聽到這個消息時嚇壞了，盡管父子倆天天生活在一起。老波里亞為了鄭重其事，竟親筆給兒子寫了一封勸告信。

波里亞深知父親的苦惱，但他沒有知難而退，義無反顧地闖進了這個“毫無希望的黑夜”。他很快提出了一個新的平行公理：“在平面內，過已知直線外的一個點，至少可以作兩條直線與已知直線相平行。”這個新公理否定了平行線的唯一性，一門新的幾何學就這樣誕生了，叫雙曲幾何學。凡是與舊的平行公理有關的定理，在雙曲幾何學中全都變得面目全非，成了許多聞所未聞的新結論。例如，在雙曲幾何學中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的內角和，而它們又都比180°小！

真的能夠作出一種三角形，使它的內角和小于180°？對于習慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來說，這是“荒誕無稽”的奇談。連老波里亞也無法理解兒子的創(chuàng)造，斷然拒絕了幫助他發(fā)表的請求。直到1832年，在兒子的再三請求下，老波里亞才勉強同意將它作為一個附錄，隨同自己的著作一起出版。

老波里亞與“數(shù)學王子”高斯是大學時代的同窗好友，他把附錄的清樣寄給高斯，想聽聽這位數(shù)學權威的意見。1832年3月，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞是個天才，但同時又說，他不便公開贊許，因為稱贊波里亞就等于稱贊他自己。原來，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn)。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究，唯恐因這種新幾何學直觀上的“荒誕無稽”而遭人恥笑。

早在波里亞著作發(fā)表的前6年，在遙遠的俄羅斯大地上，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的數(shù)學家率先亮出了這門新幾何學的旗幟。羅巴切夫斯基是一個偉大的俄國數(shù)學家，他也有同樣的發(fā)現(xiàn)，并為捍衛(wèi)新幾何學戰(zhàn)斗了一生。當時，數(shù)學家們不理解他，認為內角和小于180°的三角形是一個“笑話”，還有人嘲笑他是“對有學問的數(shù)學家的諷刺”。而一些仇視革命思想的人，更是趁機對他進行惡毒的攻擊和下流的謾罵。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發(fā)表數(shù)學著作，甚至當他已成為一個瞎眼老人時，仍然念念不忘地口授了一部《泛幾何學》，為這門新幾何學在數(shù)學王國里取得合理地位而大聲疾呼。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學的誕生，所以雙曲幾何學又叫羅氏幾何學。

羅巴切夫斯基、波里亞和高斯，用他們創(chuàng)造性的工作，動搖了“只能有一種可能的幾何”的傳統(tǒng)觀念，為創(chuàng)造不同體系的幾何開辟了道路。1854年，就在人們仍在抱怨羅氏幾何學“不可思議”時，高斯的學生黎曼，又給幾何王國增添了一種新的幾何學。黎曼提出了另一種新的平行公理：“在平面上，過已知直線外的一個點，不能作直線與已知直線相平行。”這個新公理干脆否定了平行線的存在性。以它為基礎，再加上以前的公理，就組成了橢圓幾何學，也叫黎曼幾何學。在這種新的幾何學里，三角形的內角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180°，也不小于180° ，而是大于180° 。

羅氏幾何學與黎曼幾何學更精確地反映了現(xiàn)實空間，但是，在我們的日常生活里，傳統(tǒng)幾何學已經(jīng)足夠精確了。在我們的視野范圍內，水平面是非常接近于平面的。實際上，我們也根本無法測出它的彎曲度。這樣，測量水面上一個三角形的內角和，雖然它實際上并不等于180° ，我們卻無法測出它與真實值之間的誤差。所以，在我們身邊這個不大不小的空間里，傳統(tǒng)的幾何學仍然是適用的。

因此，在紙上畫三角形，無論怎樣畫，把它的3個內角加起來，都會等于180° 。但我們也應當知道，在數(shù)學王國里，確實存在一些“稀奇古怪”的三角形，它們的內角和不等于180°。