從算術到代數(shù)到底有多遠

算術是數(shù)學中最古老、最基礎和最初等的部分。它研究數(shù)的性質(zhì)與運算。

“算術”這個詞，在我國古代是全部數(shù)學的統(tǒng)稱。至于幾何、代數(shù)等許多數(shù)學分支學科的名稱，都是后來才有的。

拉丁文中“算術”這個詞是由希臘文變化而來的。“算”字在中國的古意也是“數(shù)”的意思，表示計算用的竹籌，中國古代的復雜數(shù)字計算都要用算籌。“算術”包含當時的全部數(shù)學知識與計算技能。流傳下來的最古老的《九章算數(shù)》以及失傳的許商《算術》和杜忠《算術》，都是討論各種實際的數(shù)學問題的求解方法的。

關于算數(shù)的產(chǎn)生，還是要從數(shù)談起。數(shù)是用來表達、討論數(shù)量問題的，有不同的類型量。遠在古代數(shù)學發(fā)展的最初階段，由于人類日常生活與生產(chǎn)實踐中的需要，產(chǎn)生了最簡單的自然數(shù)的概念。

自然數(shù)的一個特點就是由不可分割的個體組成。說樹和羊這兩種事物，如果說兩棵樹，就是一棵再一棵；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能說有半棵樹或者半只羊，半棵樹或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作樹和羊。

不過，自然數(shù)不足以解決生活和生產(chǎn)中常見的分份問題，因此數(shù)的概念產(chǎn)生了第一次擴張。分數(shù)是對另一種類型的量的分割而產(chǎn)生的。比如，長度就是一種可以無限分割的量，要表示這些量，就只能用分數(shù)。

從已有的文獻可知，人類認識自然數(shù)和分數(shù)的歷史是很久的。比如約公元前2 000年流傳下來的古埃及萊茵德紙草書中，就記載了有關分數(shù)的計算方法；中國殷代遺留下來的甲骨文中也有很多自然數(shù)，最大的數(shù)字是三萬，并且全部應用十進位制的位置計數(shù)法。

自然數(shù)和分數(shù)具有不同的性質(zhì)，數(shù)和數(shù)之間也有不同的關系，為了計算這些數(shù),就產(chǎn)生了加、減、乘、除的方法，這四種方法就是四則運算。

把數(shù)和數(shù)的性質(zhì)、數(shù)和數(shù)之間的四則運算在應用過程中的經(jīng)驗累積起來并加以整理，就形成了最古老的一門數(shù)學——算術。

在算術的發(fā)展過程中，由于實踐和理論上的要求，提出了許多新問題，在解決這些新問題的過程中，古算術從兩個方面得到了進一步的發(fā)展。

一方面，在研究自然數(shù)的四則運算時，發(fā)現(xiàn)只有除法比較復雜，有的能除盡，有的除不盡，有的數(shù)可以分解，有的數(shù)不能分解，有些數(shù)有大于１的公約數(shù)，有些數(shù)沒有大于１的公約數(shù)。為了尋求這些數(shù)的規(guī)律，從而發(fā)展成為專門研究數(shù)的性質(zhì)、脫離了古算術而獨立的一個數(shù)學分支，叫做整數(shù)論，或叫做初等數(shù)論，并在以后又有了新的發(fā)展。

另一方面，在古算術中討論各種類型的應用問題以及對這些問題的各種解法。在長期的研究中，很自然地就會啟發(fā)人們尋求解這些應用問題的一般方法，也就是說，找到一般的更為普遍適用的方法來解決同樣類型的應用問題，于是發(fā)明了抽象的數(shù)學符號，從而發(fā)展成為數(shù)學的另一個古老的分支，這就是初等代數(shù)。

數(shù)學發(fā)展到現(xiàn)在，算術已不再是數(shù)學的一個分支。現(xiàn)在我們通常提到的算術，只是作為小學里的一個教學科目，目的是使學生理解和掌握有關數(shù)量關系和空間形式的最基礎的知識，能夠正確、迅速地進行整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算，初步了解現(xiàn)代數(shù)學中的一些最簡單的思想，具有初步的邏輯思維能力和空間觀念。

編輯/王宇