中頻振動雜交分析方法中邊界條件對等效阻抗的影響研究

夏智彬 黎 勝

1大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連116024 2大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連116024

中頻振動雜交分析方法中邊界條件對等效阻抗的影響研究

夏智彬1，2黎 勝1，2

1大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連116024 2大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連116024

對復雜結構系統的振動響應分析，一般根據所考慮的頻率范圍將分析頻段分為低頻段、中頻段和高頻段，并針對不同頻段采取不同的分析方法。闡述了中頻振動分析問題，討論了中頻問題的雜交方法建模和求解，并以加框板為例研究了不同邊界條件對等效阻抗的影響。計算結果表明，邊界條件對等效阻抗的影響不大。此外，比較了加密有限元網格、稀疏有限元網格和基于等效阻抗使用有限元／統計能量分析雜交方法得到的計算結果，并得出了相應的結論。

振動響應；結構振動；中頻；等效阻抗；統計能量分析；有限元法；雜交方法

1 引言

對復雜結構系統的振動響應分析，必須根據所考慮的頻率范圍來采取不同的分析方法。在低頻段，有限元方法得到了廣泛的應用。在高頻段，目前統計能量分析方法（模態方法）和能量有限元方法（波動方法）等基于統計平均觀點的能量方法取得了成功的應用。由于建模方法的不同，對船舶等復雜實際結構的振動分析在低頻和高頻之間的中頻段就會遇到困難，此時，復雜結構中的板（彎曲振動）等柔性構件適合于用統計能量分析建模，框架等剛性構件則適合于用有限元法建模，而單獨使用有限元法或統計能量分析方法都有困難，這就引出了中頻振動分析問題。

對中頻問題的研究，奠基性的工作是1999年由LANGLEY和BREMNER［1］提出的基于有限元法和統計能量分析的雜交方法：其方法是將復雜結構分為全局構件（剛性構件）和局部構件（柔性構件），然后基于模態分析方法求得局部構件對全局構件的等效阻尼和質量（或剛度）加到全局構件上，再采用有限元法對全局構件進行求解，從求解得到的全局構件和局部構件連接處的速度和局部構件對全局構件的附加阻尼可得到全局構件輸入局部構件的功率，最后采用統計能量分析方法對局部構件進行分析從而完成對整個復雜結構的求解。他們的方法奠定了中頻分析方法的基礎，其后的方法基本上都是基于他們的雜交方法思想。目前比較有代表性的中頻研究工作主要有：1）LANGLEY和SHORTER［2，3］將復雜結構振動響應劃分為直接場響應（剛性構件響應）和混響場響應（柔性構件響應）。基于混響場互易關系得到連接處混響場對直接場的阻抗作用，然后對直接場響應進行求解，再對混響場響應進行求解。他們的方法實質上是在假設柔性構件響應為混響場響應的基礎上用波動分析方法替代了原來的模態分析方法來求解局部構件的等效阻抗。2）VLAHOPOU鄄LOS等［4］提出的將復雜結構構件根據波長劃分為短構件（剛性構件或全局構件）和長構件（柔性構件或局部構件）并分別采用有限元法和能量有限元法建模，長短構件的耦合通過雜交連接公式來描述，即推導出短構件中的位移變量和長構件中能量密度的關系式；VLAHOPOULOS等［5］還基于模態綜合法利用靜力模態采用解析方法來確定梁板焊接點的等效阻抗特性，VLAHOPOULOS和黎勝等［6］將該方法用于實際汽車結構的中頻振動噪聲分析預報，數值結果和實驗結果的比較表明該方法具有較高的精度。3）MACE等［7］基于自由界面主模態采用子結構模態綜合法來求得柔性構件對剛性構件各階模態的等效模態阻尼和模態質量（剛度）。4）由SOIZE等［8］提出模糊結構理論不能視為上述的中頻方法，其是為解決復雜結構中部分構件（模糊結構或從屬結構或隨機結構）難以精確描述或無法精確描述的問題而提出的，其將復雜結構劃分為主結構和模糊結構，模糊結構對主結構的作用通過隨機邊界阻抗來體現，在確定隨機邊界阻抗后對主結構采用確定性方法如有限元方法來求解。該方法可得到考慮模糊結構影響的主結構振動響應（均值）及由模糊結構引起的響應變異（方差）。該方法在復雜結構的模糊結構構造，即確定模糊結構參數和界面阻抗時有困難。

目前中頻工作的不同點主要在于求解柔性構件對剛性構件的等效阻抗時采用的方法不同，中頻問題的關鍵就在于怎樣合理高效地求得柔性構件對剛性構件的邊界等效阻抗作用，因為其通過附加阻尼和質量（剛度）決定了剛性構件響應的求解準確性和通過輸入功率決定了柔性構件響應的求解準確性。

為考察剛性構件和柔性構件的連接方式對等效阻抗的影響，本文基于點阻抗的定義式采用加密有限元網格來計算柔性構件與剛性構件連接點的等效阻抗，研究了不同邊界條件對等效阻抗的影響。文中最后還比較了加密有限元網格計算結果和基于等效阻抗使用有限元／統計能量分析雜交方法得到的計算結果。

2 計算方法

中頻振動分析中首先要基于結構特征波長或模態密度在計算頻帶內來劃分剛性構件和柔性構件。有關結構特征波長計算和模態密度計算可參看有關專著［9，10］。對剛性構件，在簡諧激勵力作用下，考慮柔性構件等效阻抗作用的有限元形式的運動方程為:

式中，ω為激勵圓頻率；i＝（－1）1／2；［M］、［C］和［K］分別為剛性構件的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；｛x｝為剛性構件位移向量；｛F｝為外激勵力向量；［Mf］、［Cf］和［Kf］分別為柔性構件的附加質量矩陣、附加阻尼矩陣和附加剛度矩陣。值得指出的是柔性構件的附加質量、附加阻尼和附加剛度只與柔性構件和剛性構件邊界連接處的自由度有關，故其又可通過標量質量單元、標量阻尼單元和標量彈簧單元直接定義在這些邊界有限元節點上。為考察邊界條件對柔性構件的附加質量、附加阻尼和附加剛度大小的影響，本文通過點阻抗的定義式來進行柔性構件附加質量、附加阻尼和附加剛度的計算。即對柔性構件單獨進行有限元建模，將柔性構件上與剛性構件連接處的所有節點進行約束，當計算某連接點的附件質量、附加阻尼和附加剛度時，放松該連接點，計算單位激勵力作用下該點的速度v即可得到到該點的等效阻抗為：

Z的實部Re（Z）＝cf，即為附加阻尼，虛部Im（Z）＝ωmf－kf／ω，即為附加質量（剛度）。計算時可單獨用附加質量或附加剛度來表示。

在得到所有連接點處的附加阻尼和附加質量（剛度）后，通過標量阻尼單元和標量質量（彈簧）單元加在相應的剛性構件有限元節點上，首先對剛性構件進行有限元求解。在得到剛性構件的響應后，由剛性構件與柔性構件連接點處的速度響應和相應的附加阻尼即可得到輸入柔性構件的功率∏為：

式中，n為剛性構件與柔性構件連接點的數目；cfi和vi為連接點i處相應的附加阻尼和速度響應。得到柔性構件的輸入功率∏后，柔性構件的響應即采用統計能量分析或能量有限元法進行求解。如柔性構件的均方速度響應為

式中，η和m分別為柔性構件的損耗因子和質量。

3 中頻振動問題實例和邊界條件對等效阻抗的影響分析

計算模型為圖1所示的加框板結構，板長和板寬為1.63 m和1.09 m，板厚為0.8 mm，框由空心矩形管組成，框的截面面積為1.129 1×10－3m2，截面慣性距為5.744 7×10－6m4。結構材料的密度為7 850 kg／m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，結構阻尼為0.02。加框板邊界無約束，板和框通過點焊連接，連接點如圖1和圖2中“○”所示。圖中所示的分別為計算中對柔性板采用的稀疏網格和加密網格。板和框的離散都采用NASTRAN的CQUAD4單元。由于板和框只在焊點處連接，所以板的加密有限元網格與框的有限元網格沒有不協調問題。激勵力作用在框架上，作用位置如圖1所示。由板和框的特征波長或是模態密度在計算頻帶內可以將該結構中的板視為柔性構件，框架視為剛性構件。計算中采用線性元進行計算，按一個波長需要劃分6個單元的要求，對板的彎曲振動，由板的彎曲波波長計算公式可以確定板的加密網格可以計算的上限頻率為1 171 Hz，稀疏網格可以計算的上限頻率為47 Hz，所以在計算頻帶內可將加密網格的計算結果作為準確解來進行比較。

圖1 加框板有限元網格（稀疏網格）

圖2 加框板有限元網格（加密網格）

分別采用加密網格和稀疏網格計算板在100～700 Hz間的垂向均方速度響應。從圖3可見，隨著激勵頻率的升高，特別是在200 Hz以后，稀疏網格的計算結果已遠小于加密網格的計算結果。

圖3 采用加密和稀疏網格計算板均方速度響應結果

如前述，柔性構件對剛性構件的等效阻抗是中頻分析的一個關鍵問題，下面對等效阻抗特性進行計算分析研究。柔性構件對與剛性構件連接點的等效阻抗可用點阻抗的的定義式來計算，即放松該連接點，計算單位激勵力作用下該點的速度來得到該點的等效阻抗。為考查板與框連接處邊界條件對等效阻抗的影響，將圖1中的板采用焊點簡支、焊點固支、邊界節點全部簡支、邊界節點全部固支等4種邊界條件基于加密有限元網格來計算單位激勵力作用下長邊中點處的速度響應得到的等效阻抗如圖4和圖5所示。

從圖4和圖5中可以看到，附加阻尼作用隨著激勵頻率的升高越來越大，而附加質量部分影響則越來越小并趨近于0，4種不同邊界條件下所得到的附加阻尼和附加質量的大小基本一致，可見邊界條件對等效阻抗的影響并不大。分析其原因在于柔性板主要是通過其彎曲振動來吸收剛性構件輸入的能量，而此時邊界條件對其能量吸收能力的影響是有限的，這可由適用于高頻分析的統計能量分析理論來解釋，其表征板彎曲振動能量吸收能力大小的模態密度是與板邊界條件無關的。如所知，統計能量分析中采用無限大板或半無限大板激勵點輸入阻抗的解析解來簡化統計能量分析模型中有關參數的計算。圖4中也給出了由計算半無限大板的激勵點阻抗得到的附加阻尼，可見在高頻時邊界連接點的阻抗將趨近于半無限大板的激勵點阻抗。

圖4 板的等效阻抗中的附加阻尼

圖5 板的等效阻抗中的附加質量

在得到了柔性構件對剛性構件的邊界連接點等效阻抗后，就可以使用雜交方法進行計算，即可將等效阻抗作為附加阻尼和附加質量加到剛性構件的有限元模型上對剛性構件進行求解，再從求解得到的速度由附加阻尼可得到輸入柔性構件的功率并完成對柔性構件的求解。本文中的計算采用NASTRAN來完成，附加阻尼和附加質量采用CDAMP1和CMASS1來模擬。

圖6、圖7和圖8分別給出了使用雜交方法得到的剛性框上A點、B點的速度響應和柔性板的均方速度響應與加密有限元網格所得到結果的比較。雜交方法計算中使用的有限元網格為圖1所示的稀疏網格，使用的附加阻尼和附加質量是由焊點簡支邊界條件下得到的等效阻抗。值得指出的是，等效阻抗只是代表了板的彎曲振動特性，由于板的壓縮波波長和剪切波波長與彎曲波波長相比較長，所以板的面內振動和剪切振動特性可仍然由使用的有限元稀疏網格直接計入 （即板的面內振動和剪切振動特性的有限元模擬滿足一個波長需要劃分6個單元的要求）。

圖6 A點速度響應值的比較

圖7 B點速度響應值的比較

圖8 柔性板的均方速度比較

從圖6、圖7和圖8可以看到，在考慮柔性板的等效阻抗作用后，使用稀疏網格的雜交方法得到了較準確的結果。

4 結論

本文對中頻振動分析問題進行了闡述，對中頻問題的雜交方法建模和求解進行了討論，并以加框板為例基于點阻抗定義式研究了不同邊界條件對等效阻抗的影響，計算結果表明邊界條件對等效阻抗的影響不大。文中還比較了加密有限元網格、稀疏有限元網格和基于等效阻抗使用有限元／統計能量分析雜交方法得到的計算結果，計算結果表明：隨著激勵頻率的升高，稀疏網格的計算結果已遠小于加密網格的計算結果，但在考慮柔性板的等效阻抗作用后，使用稀疏網格的雜交方法能得到較準確結果。

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Effects of Boundary Conditions on Effective Impedance in Hybrid Methods for Mid－frequency Vibration Analysis

Xia Zhi－bin1，2Li Sheng1，2
1 State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment Dalian University of Technology，Dalian 116024，China 2 School of Naval Architecture，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China

The frequency spectrum，where simulation methods can be utilized for vibration analysis，can be divided into three regions：low，mid and high frequency.This paper concerned mid－frequency vibration problems and the hybrid methods were developed to solve such problems.A beam－plate system was involved as an example to show the mid－frequency problem and to study the influence of boundary conditions on the effective impedance of flexible members.The numerical results were obtained and compared with the dense mesh，coarse mesh and the hybrid methods.

vibration response；structural vibration；mid－frequency；effective impedance；Statistical Energy Analysis；Finite Element Method；hybrid method

TB532

A

1673－3185（2009）06－07－04

2009-05-18

遼寧省自然科學基金資助項目（20082170）；教育部留學回國人員科研啟動基金資助項目

夏智彬（1981-），男，博士研究生。研究方向：船舶振動與聲學。E鄄mail：xzb1981@126.com

黎 勝（1973-），男，副教授，博士生導師。研究方向：船舶與海洋結構物振動噪聲機理、預報及控制。E鄄mail：shengli@dlut.edu.cn