離散數學入門教學初探

李軍雄　王凌燕

摘要:離散數學作為計算機專業基礎理論的核心課程，對計算機的發展和計算機的研究起著重要的作用。離散數學是一門學生與教師普遍感到教與學都較困難的現代數學分支，作者根據幾年的教學經驗和高職學生學習過程中的問題，對離散數學的教學作了一些探討。

關鍵詞:離散數學；入門教學；改革

隨著市場經濟的建立和發展，對人才的需求打破了以前按專業分配的模式，畢業生由統一分配向雙向選擇自謀職業轉變。要使他們在競爭激烈的人才市場中站穩腳跟，光有基礎知識不行，光有某一專業能力也不行，還必須要有較強的應變能力，這樣才能與人才市場的需求迅速接軌。這種應變能力，是素質的具體表現，就是在已有知識的基礎上，吸收和創造出有價值的新思想、新理論、新方法和新技術。因此，教育必須改革以傳授已有知識為主的局面，樹立以培養創造性為核心的素質教育觀。應當注意的是，數學素質是人才全面素質的一個重要方面。數學素質高，對培養學生的創新意識和創新方法極為有利，不能把數學課單純地看成是基礎課，應當看成是培養人才素質的專門課程，必須保證為培養基本數學素質所需要的基本內容，把對學生數學素質的培養納入對人才素質培養模式的總體框架之中，服務于整體的需要。

離散數學作為計算機科學中基礎理論的核心課程，確實有一定的難度。計算機科學在其研究過程中需要借助于離散數學這個工具，離散數學對于計算機的發展和計算機的研究具有重要的作用。而離散數學是一門教與學都較困難的現代數學分支，它是研究離散對象之間關系的科學。該課程的特點是內容多、概念多、抽象化。學生對知識與知識之間的聯系，如何將知識正確應用于解決實際問題，經常把握不好，仍然需要教師給予指導。我們應該使學生在掌握知識的同時提高分析問題和解決問題的能力，實現學習成果的轉化。

思維方式

離散數學成為一門數學學科的時間并不長，但它已經成了計算機科學系統理論中不可缺少的核心課程和先行課程。它不僅在知識上為計算機專業基礎課（編譯原理、數字電路等課程）做準備，同時在思維方式——抽象性思維方面為學生打開了一道新的門。教師除了要教給學生數學工具外，更重要的是培養學生的思維能力和創造能力。該課程就是要培養學生的分析問題、解決問題的能力以及抽象思維能力。這就要求教師在講課時條理非常清晰，并且告訴學生你的思維方式、分析問題的過程。

課后習題

每當講解完概念、定理和方法后，應及時找一些課外習題講解，并讓學生練習，達到鞏固知識的效果。因為一個好的示例不僅可以打開思想，而且對理解一種數學方法，理解理論的含意，能起到促進的效果。需要注意的是必須找課本以外的練習題。因為大學生具有自學能力，若僅僅是講解課本上的例題，學生認為沒有新意，他們看書就完全可以了，這樣不能吸引學生的注意力。用課外的習題就不一樣，因為書本上沒有，學生就會仔細認真地去聽，這樣才有好的教學效果。要精選習題，多選與計算機科學直接相關的習題(例如編碼、程序設計、數據結構等)，多選鞏固概念、理解概念的習題，多選應用型的習題、證明題，盡可能少講，以加強學生邏輯分析的能力。

強調應用

數學知識與數學素養對于工科學生的應用能力和進一步的開拓創新能力有很大的影響，有些時候甚至有決定性的影響。這一點，人們在理論上較容易接受，在實踐上卻未必認同。對于應用型的工科學生，他們一般更注意一種技能的獲得。而對數學，對在無形中增長他們的判斷能力和抽象思維能力，增長他們透過感性表象洞察隱蔽本質的能力，增長他們的條理性和邏輯性的數學，卻難于產生熱情。而愈無興趣就愈覺枯燥，愈覺困難。這種負反饋在不少學生中存在。對于更為抽象的離散數學，這個問題會更加突出。

作者在教學過程中遇到過這樣的情景，學生說學習離散數學這樣的理論課程沒有用處，所以沒有興趣，不想好好學。這是現在高職學生對于理論課程的一種普遍看法。其實我們都知道理論很重要，特別是數學知識很重要，但是學生沒有這樣的意識，為什么？這與許多教師在講課時沒有及時將所講內容與現實應用聯系起來，以至于讓學生產生錯誤的認識是分不開的。所以要求教師在講課時一定要清楚地讓學生意識到自己所學的知識是非常有用的，教師應該將知識和實際聯系起來（我校正在實施的“六位一體”課程能力目標教學改革）。針對計算機專業的學生這一特定的對象，應著重闡明概念與定理所涵蓋的現實對象或現實模型，應盡量多介紹離散數學在計算機領域的應用。使學生感受到數學在其他學科中的巨大應用，并學會一些應用數學的方法。例如“一筆畫”的問題。這是每一個學生都比較感興趣的話題，我們從小就接觸過這樣的問題，有些圖形可以一筆畫成，有些則不可以，為什么？從這個角度入手容易引起學生的好奇心，接著再講解歐拉圖的內容就能收到很好的教學效果。

改變學生對離散數學的消極心態，調動學生的積極性，使他們感到離散數學的有用和有趣，自覺主動地去學習，這是學生不僅獲得知識而且增長能力的前提。是完成教學要求的基本保證，也是教學改革的重要內容。

第一印象會長久鮮明地留在學生的頭腦中，開始的教學不宜大量講述抽象的概念和邏輯推演，而要對離散數學的歷史、現狀、應用作較生動的講解。在各章節的開始，最好有主題介紹。對離散數學中的一些富于歷史趣味的故事或富于啟發性的問題應加以介紹。比如哥尼斯堡七橋問題，郵遞員問題，一筆畫問題，周游世界游戲問題等。有關的介紹不必全面和深入，而是應側重講解它們的意境，側重講解它們的趣味性和啟發性，這些介紹宜分散到相關章節去做。接下去，應向學生提出一些富于思考性的問題，這些問題或與他們的專業有關，或與他們已有的知識有關，或出于他們的意外，或饒有趣味。這些問題使他們看來似能解決而又不能解決，這樣就能啟動學生思維的積極性。

改進教學法

不同內容的講授，方法可以不同。有些概念可以從多個角度進行講解。例如子圖和生成子圖的概念。子圖和生成子圖的定義如下:

1.圖G=與G′=間如果有V′≦V及E′≦E，則稱G′是G的子圖。

2.如果G′是G的子圖，并且V= V′（即子圖G′包含G的所有節點），則稱該子圖G′為G的生成子圖。

分析上述定義后，也可理解為:

在圖G中刪去一些邊或頂點后所得的圖稱為圖G的子圖。

在圖G中刪去一些邊后所得的圖稱為圖G的生成子圖。

傳統的教學思想過分重視演繹法，演繹法雖然有利于學習已有的知識，但它注重繁瑣的理論證明和局部的解題技巧，學生只能得到一些基本理論，而不能指導學生去發現，去創新。因此，在教學改革中，要讓學生通過對各種現象的觀察、分析，在演繹的基礎上進行示例、類比、歸納，去發現問題、研究問題、解決問題。

近二十年來，由于計算機專業的興起，“離散數學”這門課也隨之開設。應當承認，該課程較為抽象，學與教兩方面均存在一定的難度，正因為這個難度，使其成為一門培養素質與創造能力的好課程，通過有效的知識傳授可

以達到培養素質的目的。

掌握知識框架

要想讓學生從總體上把該課的結構、各部分內容之間的關系搞清楚，就要在每一章結束后，對本章的內容進行總結整理，讓學生的腦海中有一個知識框架，幫助學生有一個清楚的知識體系。

多媒體課件的使用使用CAI，習題庫的建立對計算機專業教學而言，更應早日提上日程。盡管離散數學CAI的編制有較大難度，但可由淺入深，由簡到繁，逐步編制和使用。根據教材知識體系，把內容劃分成集合論、數理邏輯、圖論三個單元，編制各單元的輔導教學知識結構體系的文字教案或電子教案。

使用多樣形式的教學方法講清知識體系的內涵和外延，設計符合學生學習特點的多媒體教材，盡量將抽象的知識形象化，達到幫助學生理解和掌握知識的目的。

講清楚內容對于有難度的內容，書本上書寫不充分的內容或者學生看不懂的內容，在講課過程中，一定要仔細地分析講解，使復雜的問題簡單化、抽象的問題形象化，從而達到較好的教學效果。

講課速度教師一定要做好課前的教學設計，精心安排每次課的教學內容，爭取整個教學過程都達到最佳效果。主講課雖然以教師講為主，但也要避免傳統的“填鴨式”的滿堂灌教學方式，要注意調動學生的學習積極性，充分發揮學生的主體作用。對主講課的教學，教師要認真把握好速度、進度，切實注重教學效果，質量是根本，學生在理解的基礎上掌握是目的。講課時速度適中，難的內容多講、慢講，不能只求速度而不管學生的接受能力;簡單的內容快講、少講，也可以讓學生自學。特別應強調說明的是，自學能力強是素質高的一個表現，因為畢業后學生為了適應工作的需要，要吸收許多新的知識，這個時候主要靠自學。在教學中，有意識地指導學生自學某些章節是有益的。精心組織教學。需要教師更加充分備課，更加精心組織每次教學。讓學生自學的某些章節，不是放任不管，而是需要精心策劃。勞力且勞心，付出的應該更多。培養學生的素質，需要高素質的教師，需要教師努力提高自身的素質。要使學生具有創造性，教師在教學中就應有創造性。這些都需要對所教的課程反復鉆研體會。

參考文獻：

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[3]劉樹利，王家玉.計算機數學基礎（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：

李軍雄（1967—），男，湖南郴州人，郴州職業技術學院計算機系副教授，研究方向為職業教育課程教學及學生管理。

王凌燕（1978—），女，湖南郴州人，郴州職業技術學院講師。

（本文責任編輯：宋開峰）