計算機專業離散數學課程教學改革探討與實踐

帕力旦.賽力提尼牙孜 阿力木

[摘要]離散數學是計算機科學的非常重要的基礎課程，極強的理論性及內容分散且抽象是其特點。對計算機專業學生，在強調課程的重要性的基礎上，以培養其抽象邏輯思維能力和創新實踐能力為主要教學目的，從離散數學教學內容的整合優化到教學方法的改革進行了初步的研究和探討。

[關鍵詞]離散數學；教學內容；教學方法；教學改革

[中圖分類號]G40—057

[文獻標識碼]A

[論文編號]1009—8097(2009)13—0262—03

離散數學是現代數學的一個重要分支，是計算機科學基礎理論的核心課程，是整個計算機學科教學體系中十分重要的環節，因此也有人將其稱為“計算機數學”。它不僅是許多計算機專業基礎課程，如數據結構、操作系統、編譯原理、數據庫原理和人工智能、形式語言及自動機、數字邏輯的必備基礎，而且對培養學生抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用。就離散數學的內涵而言，它包括了一切以離散量為對象的數學分支，它是許多數學科目的統稱。它的內容具體包括了數理邏輯、集合論、代數結構、圖論等。由于離散數學課理論性強、抽象內容多，教師難教，學生難學的現象普遍存在，學生在學習該課程時，往往看不到離散數學在計算機科學中的具體應用，因而不僅不重視離散數學的學習，而且怕學這一門課程。對此首先要對教學內容進行優化設計，對現有教學大綱進行修訂，分析難點、重點，改進教學方法，提高離散數學課程的教學水平和質量。本文結合我們多年從事離散數學課程教學實際，從精選教學內容，改革教學方法方面進行了一些研究和探討。

一精選教學內容，重視學生的素質培養

隨著現代信息技術的發展，計算機學科的發展也非常迅速，離散數學作為計算機科學與技術專業的專業基礎課程也隨之不斷發展變化。該課程是于1977年被IEEE確定為計算機專業核心主干課程，2001年又被IEEE和ACM確定為計算機專業第一核心主干課程。目前國內同類課程大致可以分為三個層次：(1)少數名牌高校(清華，北大、南京大學等)為強化基礎理論，將離散數學課程分拆為多門課程，如北大分成三門：集合論與圖論、數理邏輯、代數系統與組合數學，他們的學時達200余學時。(2)大多數重點院校的離散數學課程，兼顧計算機科學和計算機應用。內容較為寬廣深入，講授課時大約在64—96學時。(3)一般本科和專科院校要求稍低，只講授和計算機應用有關的離散結構數學模型。我校開設離散數學課程已有多年歷史，開設對象有兩大類：一是面向計算機及其應用專業：另一類是數學及經濟管理專業。目前我們采用的教材是，使用的教學大綱就其內容和教學要求而言大致相同，由于歷史原因和教學課時數的限制，書中代數結構部分是要求學生自學的，教師只是簡單介紹。但我們發現這對計算機專業的學生理解并應用抽象代數的知識是必不可缺的，必須應予以重點講授。而根據知識點的難易我們認為可將內容順序進行如下調整，即：1．數理邏輯2．集合論3．圖論4代數結構。于是我們著手修訂了面向計算機專業方向的教學大綱，從內容和教學側重點上進行了優化設計。必講內容教材第一部分的數理邏輯、第二部分函數與關系中第六章集合代數和第七章二元關系，對第八章函數只是講清函數及映射的定義，介紹函數的兩個基本運算一復合和求逆。第三部分代數結構中引進代數系統建立、重點講授格與布爾代數。第四部分圖論重點講授圖的基本概念及后續關于樹、平面圖著色及支配集的內容。而我們現有教學時數只有48學時，與教學內容遠遠不能匹配，本著“精、廣、實用”的原則組織教學內容，并對教學內容進行系列化的有機整合，既要考慮到相關內容的層次銜接、與后繼課程的聯系，又要突出內容銜接的主線；既注意縱向與橫向之間的聯系，又注意培養學生邏輯推理、抽象思維、分析和解決問題的能力和思想方法。現行大多數教材，主要是集中在從純數學理論角度教授基本內容，這也是不利于學生的理解學習的，基于現階段的實際情況，在課程講授中可以適當補充離散數學在計算機科學中的應用的內容，將之與離散數學理論結合介紹給學生，這將是有利于學生理解理論知識又為后續課程的學習奠定基礎。

二教學方法的研究和改進

1深入研究教材內容

由于離散數學中的定義、定理比較多，學生一時難以理解和記憶，所以在備課中要注意查閱不同版本教材中對同一定義的不同敘述方式，找出一種最能使學生接受的定義方式，對不同的定義、定理找出它們之間的相互聯系，對于一些比較相近的定義、定理還要找出之間的相互區別。如在數理邏輯中的簡單析取式、析取范式、主析取范式；簡單合取式、合取范式、互合取范式這幾個定義以及圖論中的通路、連通性、連通分支、割集這幾個概念，它們既相互有聯系，又相互有區別。如：《數據結構》課程中也有樹的概念，數據結構中的樹和離散數學圖論中的根樹是一致的，它們共同涉及的許多概念是統一的，只有“樹的高”其含義不一致，數據結構中的樹高=離散數學圖論中的根樹的高+1。所以在備課中，要吃透教材，把學生對知識的準確掌握放在首位。

2提高學生對離散數學的認識

隨著計算機學科發展的深入，現今在計算機的研究和實踐中遇到的許多重大問題不僅是技術問題，而且是技術方面的理論問題。因此，無論學生今后從事理論研究，還是應用開發，都應該打下堅實的理論基礎，以適應學科迅速發展和知識更新的需要。離散數學是計算機科學中基礎理論的核心課程，它以研究離散量的結構和相互關系為主要目標，其研究對象一般是有限個或可數個元素組成的集合，所以它充分地描述了計算機科學離散性的特點離散數學教學除了教給學生離散數學知識以外，更重要的是要通過嚴格的訓練，逐步實現學生思維方式的數字化。離散數學的主要內容之一數理邏輯是研究推理的學科，在人工智能、程序理論和數據庫理論等的研究中有重要的應用。集合論、布爾代數和圖論在計算機科學中也有廣泛的應用，他們為數據結構奠定了數學基礎，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進行抽象和描述的一些重要方法。因此，對于計算機專業的學生來說，學好離散數學這門課是非常重要的。離散數學課程中數理邏輯和代數結構既是學習中的重點，又是學習中的難點，通過這部分的學習，可以培養學生嚴密的邏輯推理能力。因此學好《離散數學》對于計算機專業的學生來說是至關重要。

3注重培養學生的學習主動性和學習興趣

在提高學生對學好離散數學課的認識之后，要增強他的學習的主動性。根據學生的邏輯推理能力、直觀想像能力和對離散數學的相關基礎知識的實際掌握情況等組織教學。在課堂講授中要和學生交互，經常提出問題，讓學生思考并回答，活躍課堂氣氛，提高學習的原積極性。另外要注意發現離散數學相關的知識中學生掌握的不夠扎實的地方、沒有學過的地方，要適當地加以加介紹，如在學習圖的同構概念時，

復習關于函數中一一映射的概念，從而掃除學生學習新知識時的障礙。再者要遵循“興趣是學習之母”，學習任何一門科學，都需要有興趣。有了興趣，自然也就有了動力。我們認為在離散數學課程的教學過程中，應該在講解分析理論基礎上結合學科應用，這無論從學科的本質特點，還是利于學生的學習掌握考慮都非常重要。適當穿插介紹一些知識點在其他計算機學科中的應用，通過課堂教學，讓學生充分認識到離散數學與計算機科學的密切關系。例如在相關章節引進離散數學中的一些富于歷史趣味的故事或富于啟發性的問題，比如哥尼斯堡七橋問題、過河問題、一筆畫問題、周游世界問題、地圖著色問題等，喚起學生學習離散數學的欲望。有關的介紹不必全面和深入，而是側重講解它們的意境，側重講解它們的趣味性和啟發性。聯系實際提出掃雪問題就是著名的歐拉圖問題，介紹災情巡視的數學模型，就是著名的漢密頓回路問題等．這樣理論聯系實際既可使學生感到學習數學的實用性，又可提高學生的學習興趣。

4注重理論的理解、注重學習的過程

離散數學課程中有很多定義、定理、規則，對學生而言，幾乎每一節課堂上均要接受數十個新的術語或定理，這顯然是有很大的難度，而且很容易產生枯燥甚至畏難情緒。因此我們要告訴學生，不用大量記憶定義、概念，重在理解，注重學習過程。在整體上分析之后，對部分知識可以刪減，例如一階邏輯中很多的公式無非是將命題邏輯重的公式進行了量化，要求學生注意使用量詞的消去和添加規則，于是一階邏輯的推理也完全建立在命題邏輯推理之上，只是要求學生能夠正確使用全稱(存在)指定規則，講清其目的是在于將一階邏輯進行個體指定，從而使其變為命題；再通過正確使用全稱(存在)推廣規則，將已經不推出的命題進行量詞化，繼而達到一階邏輯的推理證明。注重對于問題的完整理解過程，而不是只告訴學生結論。通過研究我們發現，離散數學的內容雖然“散”，但可以用一條主線貫穿始終，即離散數學討論的內容大多包含兩個方面：一是研究一個系統中涉及組成元素二是研究其運算、操作、推理，如集合論中是集合元素及其上的集合運算，數理邏輯中是邏輯公式與推理，代數結構中是集合與其上的運算，而就其實質而言，無非是建立系統，添加運算再討論運算規律。并將此與整個計算機學科的本質思想結合起來，有利于學生理解理論、清晰思路。

5注重理論聯系實際

在傳授離散數學知識的同時，通過講解知識的來龍去脈，將學科最基本方法、計算機問題求解時應該考慮的問題要點、研究思路和方法傳授給學生，加大學生抽象思維和邏輯思維的培養力度。在教學過程中可以在相應的章節中引進一些典型的離散模型，講解其建模思路，引導學生進一步思考。通過對典型問題的描述、分析和解決，引導學生對課程、對問題多問幾個為什么，要通過追究老師的解題思路培養自己的探索興趣與解決問題能力。

6充分利用多媒體教學的優勢提高課堂教學效果

圖示化一直被人們認為是一種很好的教學方法，特別是在整個教學過程中，注意到狀態與狀態的變換作為圖示的一個規律，在增加學習的形象性、趣味性同時，注重加深學生對計算機學科的基本思路的理解和拓展。如用點線圖分析特殊圖的特征、復合關系的形成，區域圖描述集合關系，圖表表示關系的性質特征等。圖示法形象直觀、圖文并茂、啟發思考，可以解決復雜繁瑣的理論知識。對這些內容可以采用直觀、生動和形象的多媒體動畫進行演示，達到利于學生理解、減輕緊張程度、提高學習興趣等目的。另一方面用對于龐大的教學知識點，若按每一章節學習記憶內容太多，不易掌握，若能利用多媒體中的超鏈接可對表面上看似不相關但實質類同的知識，通過類比方法進行教學，可以減少大量的板書時間，并且以更加整齊、鮮明、美觀、生動和可重現等方式展現課程內容。于是精心制作與課程教材配套的多媒體教學課件尤為重要，并在授課時提倡課件于黑板結合的方式，這樣可對學生制造一個只是緩沖時間和區域。

7建立一個良好的網絡教學平臺

由于離散數學課程的教學難度、課堂教學時間等方面的原因，師生、學生之間的交流、討論進行的較少。隨著教學改革的深入，在課堂教學的引導下，我們可以通過網絡建設，為學生提供了豐富多彩的網上教學資源，方便學生自主學習，有利于學生個性的發揮，有利于培養學生的創造力和學習能力。通過設置學生交流平臺，開通公共信箱，以最大限度地滿足學生課外學習需求，學生可以自由參與討論也可以集中參與討論，教師也可以隨時參與，而且，學生可以非常自由發言，這均是傳統方式遠遠所不及的。

三結論

進行離散數學課程教學改革主要在于教學觀念的轉變、教學內容的改變、教學方法的改進。我們通過重新修訂教學大綱，整合優化教學內容，探討了教學方法，可以有效解決課時少與教學內容多的矛盾，從而有效地保證教學質量。實踐證明，這樣的教學改革是有利于離散數學課程教學的。

參考文獻

[1]耿素云，屈婉玲．離散數學[M]．修訂版．北京：清華大學出版社，2003．

[2]傅彥．計算機專業主干課程建設與教學改革[J]．電子科技大學學報(社科版)，2002，(4)．