巧用面積法證題

面積法是利用幾何面積公式證題的一種證明方法.運用此法證明涉及等腰三角形或平行四邊形相關的部分題目，既省時簡捷，又讓人一目了然.

一、解答涉及等腰三角形問題

例1 如圖1，已知△ABC中，AB=BC=AC，P為BC上一點，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為D、E、F.求證:BF=PD+PE.

證明:連接AP.

∵ S= S+ S，

∴AC#8226;BF=AB#8226;PD+AC#8226;PE.

∵ AB=BC=AC，

∴ BF=PD+PE.

評注:此題若用常規證法，則需要過點P作PG⊥BF于G，利用全等三角形及矩形的性質進行證明.

二、解答涉及平行四邊形問題

例2 已知，如圖2，在ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，且BF=DE，又BF、DE相交于點G.求證:CG平分∠BGD.

證明:作CK⊥BF，CH⊥DE，垂足分別為K、H，連接CE、CF.

∵S=BF#8226;CK=S，S=DE#8226;CH=S，

又 BF=DE，∴CK=CH.

∴ Rt△CKG≌Rt△CHG.(HL)

∴ ∠CGK=∠CGH，即CG平分∠BGD.

評注:此題若按常規證法，則很難證明CK=CH.

三、解答涉及菱形問題

例3 如圖3，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥BC ， OG⊥CD， OH⊥AD，垂足分別為E、F、G、H，求證:OE=OF=OG=OH.

證明:由菱形ABCD知:AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD，

∴ △OAB≌△OCB≌△OCD≌△OAD，

∴S=S=S=S.

∴ AB#8226;OE=BC#8226;OF=CD#8226;OG=AD#8226;OH.

∴OE=OF=OG=OH.

評注:此題若用常規證法，則需要結合菱形的性質，利用全等三角形性質或角平分線的性質進行證明.

四、解答涉及四邊形問題

例4 已知，如圖4，在四邊形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求證:AD∥BC.

證明:作AE⊥BC，DF⊥BC， 垂足分別為E、F，則AE∥DF.

∵AB=DC，AC=BD， BC=CB，

∴△ABC≌△DCB.(SSS)

∴ S=S .

∴BC#8226;AE=BC#8226;DF，

∴ AE=DF.

∴四邊形AEFD為平行四邊形.(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.)

∴ AD∥BC.