動態投入產出模型的計算機控制算法

[摘 要] 利用計算機對經濟學的離散事件廣義動態投入產出模型進行模擬與控制，以使國民經濟能夠協調發展。通過使用一種新的數學方法—線性矩陣不等式，動態廣義投入產出模型不需要轉化成一般形式可以直接研究其穩定性，從而可以減少研究的復雜性。首先提出了一個動態投入產出模型一類穩定的條件，并基于此設計了相應的反饋控制器，然后利用計算機編寫相應的模擬與控制程序，實現了對動態投入產出模型的計算機控制。

[關鍵詞] 動態投入產出模型 經濟控制論 計算機控制系統

近來，經濟學家逐漸重視經濟系統的計算機控制問題的研究。最初計算機主要用來求解經濟系統的方程。此后，由于需要對經濟系統進行模擬與控制，對經濟系統進行計算機控制成為研究的熱點。目前，在投入產出問題的研究中，投入產出模型一般通過選取適當的狀態向量等把廣義系統轉換為一般系統。本文將使用線性矩陣不等式直接研究離散廣義模型，提出模型穩定的一個充分條件，并設計相應的計算機控制系統。

一、經濟模型的建立

考慮經濟控制論中的廣義動態投入產出模型：

（1）

其中rankB=r

二、主要結果

首先考慮的情況，系統（1）轉化為

（1-1）。

定理1：離散時間廣義動態投入產出模型（1-1）是可容許的，如果存在適當維數的矩陣p>0，Q和S滿足：

（3）（4）

其中。

證明：根據線性代數，存在兩個非奇異矩陣M、N滿足

，此時，S可以選擇為：。

令：，。將上式代入(3)中，我們可以得到

其中。

從上式，可以推出<0，并且矩陣T4是非奇異的。令:T＝I-A+B。

則有。

顯然是不恒等于零的，且其次數為rankB，所以是不恒等于零，并且。因此模型（1-1）是正則、因果的。則根據，存在兩個非奇異矩陣和使得，。

此時S可以選作:。定義 。

把上面兩式代入（3），我們得到：

。

根據Schur補引理，我們知道，因此的所有根都位于以原點為圓心的單位圓內。因此系統（1-1）是穩定的。因此也是可容許的。

注記1：定理1提供了一個離散時間廣義動態投入產出模型是可容許的充分條件，基于此可以設計相應的控制器。

定理2：離散時間廣義動態投入產出模型（1）是可容許的，如果存在適當維數的p>0，Q，G和S滿足：

（5）

其中

。

此時，狀態反饋控制器可以設計為。

證明：將控制器代入系統（1），則有

（6）

下面我們證明系統（6）是可容許的。根據（5）則有

根據定理1，可知系統是可容許的。定理2得證。

三、計算機控制系統

根據定理2，我們利用matlab的LMI工具箱求解相應的控制參數，從而可以設計相應的計算機控制系統。在這里我們考慮參數如下的系統（1）：，。

容易驗證系統（1）的開環系統是不穩定的。利用matlab得到定理2的解是：，，，。

則控制器可以設計為：

。則系統轉化為。

利用計算機模擬其狀態曲線，系統是穩定的。

本文利用線性矩陣不等式的方法，對離散時間廣義動態投入產出模型進行了直接研究而并不需要把廣義系統轉化為一般系統。在本文中，證明了模型穩定的充分條件，并設計了相應的計算機控制系統。本文的作者非常感謝所有給文章提出意見和建議的專家學者。

參考文獻:

O. Lang， Introduction to Economic Cybernetics. Pergaman Press， Oxford，1970