小波分析在證券市場中的應用

[摘 要] 指出有效市場理論的缺陷，利用具有良好時空變換特征的小波分析研究股票市場，闡述上證指數和深成指數序列所具有的分形性質，并進行實證研究。

[關鍵詞] 有效市場 小波分析 分形

一、引言

股票市場是一個自由度極大的信息系統。傳統的有關證券市場運行規律的理論都是基于有效市場假說（efficient Market Hypothesis，以下簡稱為EMH)做出的研究，得出概率分布近似服從正態分布或對數正態分布的結論。隨著研究的深入，人們發現了正態收益率假設與實際之間的偏差越來越多的異常現象，如:EMH無法解釋的證券市場中的規模效應、季節效應、小公司元月效應等。

有效市場理論的核心是價格對于信息反應的程度和速度。在EMH 所作的諸多假設中， 都采用了一種線性的范式來刻畫市場， 這正是所有關于EMH 爭論的癥結所在， 而社會經濟系統， 包括金融市場， 從本質上講是非線性的， 我們需用一種新的經濟機理來解釋市場復雜的波動特性。Edgar E. Peters從非線性的觀點出發，提出了更符合實際的資本市場基本假設一分形市場假說[2](Fractal Market Hypothesis，以下簡稱為FMH)，從而為人們準確刻畫證券市場結構特征開辟了新的視角，為解釋EMH等傳統資本市場理論所不能解釋的異?，F象提供了新的理論框架。

二、分形市場理論

分形市場理論認為，只用隨機的觀點和方法來研究金融時間序列，必然會損失金融市場中包含的豐富信息。金融時間序列具有其內在的相關性，并且這種相關性是長期的，也就是說金融時間序列不是隨機的而是分形的，叫做分維時間序列，它不服從隨機游走模型和正態分布規律，而是服從分形分布，在均值處有高峰和厚尾等非線性現象。Mandelbrot認為，從隨機分布到分形分布是由整數維時間序列向分數維時間序列擴展，布朗運動向分數布朗運動擴展。分形的外在表現形式是自相似，分形的內在生成機理是迭代函數系統（Interated Function System，IFS)。

定義1FBM(分數布朗運動)令H滿足0

其中，(·)為函數，B(s)為布朗運動，H為hurst指數。

分數布朗運動是布朗運動的推廣。分數布朗運動的特征是具有持久性或者說“長程相關性”。Hurst指數值決定了時間序列的性質，即若H＝1/2，則BH(t)=B(s)，分數布朗運動退化為布朗運動。在離散情況下，FBM成為分數差分噪聲。

整數維時間序列的局限性使其未能揭示市場真實的波動特性，分維時間序列包含并且擴展了整數維時間序列， 因此， 它具有整數維時間序列所不具有的諸多非線性特性， 如長記憶性、自相似性、IFS 生成機理等等， 從而可以更加準確地刻畫金融市場的波動特性。

如果信號具有自相似性，則在分解后會發現小波系數的圖形在許多尺度上看上去很相似。因此，如果某個信號的連續小波變換系數在很多尺度上相似，那么該信號就具有自相似性，從而可用自相似或分形的知識研究。若對某一股票價格的數據每天采樣一次，然后做出價格關于時間變化的曲線，與每星期采樣一次做出的曲線，在統計學意義上是相似的，因此可求其分數維。

在實際應用中計算分形維數的方法有很多，如相似維、容量維、盒子維(Minkowski維)、信息維、關聯維、廣義分形維等。而小波分析被譽為數學的顯微鏡，十分適合分析具有自相似性股價指數曲線。

股價指數序列｛X(t)∶t=1，2，…｝具有統計自相似性，即自相似的隨機過程是在概率分布意義下滿足自相似性，即對任意a＜0，X(t)∶=a-HX(at)，H為自相似指數，D=2-H，（D為分形維）， 為依概率分布相等。對X(t)有

1.均值自相似性：E(X(t))=a-HE(X(St));（1）

2.自相關函數自相似性：

Rx(t1，t2)=E(X(t1)X(t2))=a-2HE(X(at1)X(at2))=a-2HRx(at1，at2)，若是平穩的，則Rx(t1-t2)=a-2HRx(at1-at2)；（2）

3.功率譜自相似性:且。（為X(t)的方差） （3）

若自相似過程的功率譜具有特點:，=2H+1，稱為分維譜特性或1/f譜。一般來說，1

對分形噪聲進行小波分解，其小波系數在尺度j時的方差有如下特征：

Rf2=var(dnj)=R2Vφ（)2i（4）

var(dnj)為小波系數在尺度j的方差，R2為噪聲方差，Vφ（)是依賴于φ（t)，的常數，對上式兩邊同時取對數得1og2(R2f)=1og2[R2Vφ（y)]+j (5）

令Yj=1og2R2f，β＝1og2[R2Vφ（)]

參數可由以下線性回歸估計:Yj=β+、i，j=1，2，…，m

應用最小二乘法估計得

小波系數在尺度j的方差有無偏估計：

則（6）

三、應用及結論

十多年來，我國股票市場已經取得了長足的發展，但由于經濟環境的復雜性，以及我國經濟體制在許多方面不斷發生變化，許多難以度量的結構性因素和其它難以預料的因素都對股市產生影響，直接表現為股指似乎無規律的波動。下面應用小波理論對上證股指、深證股指數據進行分析。

選取上證180指數與深圳100指數20004年1月3日至2006年12月26日的原始數據作為研究對象。利用Matlab中的小波工具箱，采用Daubechies D6小波基對原始數據直接進行6層正交小波變換可以得到一系列的小波系數，由(6)我們可以得到下列結果：上證指數的分形維是1.141，深證指數的分形維是1.109。

另外，還可以根據赫斯特提出的另一統計量進行穩定性檢驗或周期長度的估計。對于獨立的隨機過程系統，統計量Vn關于1og(n)是平坦的。而對于具有狀態持續性的過程來說， Vn關于1og(n)是向上傾斜的。當Vn圖形形狀發生改變時，就發生突變，短期記憶消失。我們發現我國股票價格持久性周期大約是20周，即股票現在的價格會對以后20周左右時間內的價格產生影響，而20周以后的股票價格與現在的價格是相互獨立的。

參考文獻：

[1]王 哲 王春峰 顧培亮:小波分析在股市數據分析中的應用.系統工程學報，1999:14（3）

[2]徐緒松 陳彥斌:深滬股市分形維實證研究.數量經濟技術經濟研究，2000：11

[3]孫仲明:上證指數的分形結構分析.經濟理論研究

[4]侯建榮 宋國鄉:小波分析在Hurst指數估值中的應用.西安電子科技大學學報，222:29（1）

[5]樊 智 張世英:金融市場的效率與分形市場理論.系統工程理論與實踐，2002:3