基于期權的報童模型研究

[摘 要] 在經典報童模型基礎上，引入期權機制，建立基于期權的報童模型。研究發現，在分散決策型供應鏈中引入期權機制，可以通過制定合適的價格策略，在供應鏈的整體利潤達到最優的同時增加零售商和供應商的利潤，從而實現帕累托最優。

[關鍵詞] 報童模型 期權 供應鏈 決策模型

經典newsboy model(報童模型)是運籌學中典型的隨機規劃模型，在不確定需求的時令性商品的銷售中，過量訂貨或不足訂貨都會產生損失，決策者需要確定商品的最優訂購數量，使得利潤最大化。由于服務業產品多數具備報童模型中的商品特征，隨著服務產業的發展，newsboy model模型成為歐美等發達國家的主要管理學模型。

1950年以來，運籌、運營管理中大量文獻研究newsboy model。Khouja總結了newsboy model的研究狀況，歸納出了newsboy model的11種擴展研究，并指出了進一步研究的方向。其后的許多關于newsboy model的研究仍然是在這個框架中的。Parlar等在目標函數方面進行了擴展，研究了多目標的newsboy model；在供應鏈網絡結構上進行擴展研究的有: Chung、Weng等研究了兩階段多源供應問題，Shang，Kogan研究了多階段newsboy model模型；Larivier從渠道協調角度研究了供應鏈效率的影響因素；Petruzzi ，Erlebacher擴展了經典報童模型中的定價決策。本文試圖通過引入期權機制，研究基于期權的報童模型中供應商和零售商的定價策略、訂貨量和相應的決策模型。

一、基本假設

考慮由一個供應商(制造商)和一個零售商組成的兩階段供應鏈。零售商面臨一個隨機的市場需求，產品是時令性的，并且訂貨周期較長。根據LF博弈(leader-follower game)理論考察供應商和零售商之間的相互作用，供應商是領導者，零售商是追隨者，供應商給定一套契約參數，零售商據此確定它的最優產品訂貨量。同時認為產品市場是開放的，有關產品的市場銷售價格、需求分布和庫存成本等信息是對稱的。所以，作為領導者，供應商能獲得所有必需的信息，推斷零售商的產品訂貨量，并據此制定最佳決策。供應商和零售商是風險中性和完全理性，都根據期望利潤最大化原則進行決策。

供應商首先發布產品的批發價格、期權的出售價格和執行價格， 零售商根據供應商的價格政策和市場需求預期，確定其固定訂貨量和期權購買量，在下一階段獲得更為貼近市場需求的信息后零售商執行期權，供應商必須保證供應零售商所訂購的產品量，銷售季節過后剩余產品可按處理價處理。

為便于討論，給出各變量及定義如下:

p:零售商的單位產品在市場的零售價格；

w:供應商出售給零售商的單位產品的批發價格；

c:供應商的單位產品的生產成本；

co:單位產品的期權價格；

ce:單位產品的期權執行價格；

M:零售商的期權購買量；

v:單位剩余產品的處理價；

l:供應商和零售商因缺貨而導致的單位損失(如信譽損失、顧客流失等)；

T:協作過程中零售商對供應商的總支付；

F(x):市場需求D的分布函數；

f(x):市場需求D的概率密度函數；

μ:需求D的均值；

F(x)可微、連續遞增，且F(0)=0;，且有:

，

當訂貨量為Q，實際需求x

產品的期望銷售量為:

產品的期望庫存為:I(Q)=(Q-D)+=Q-S(Q)，

產品的期望缺貨為:L(Q)=(D-Q)+=μ-S(Q)。

假定參數間存在以下關系:

v≤c≤w≤p，

co+ce≥w，

co≤w-v，

p+1≥co+ce。

其中第一式假定保證零售價格高于批發價格，批發價格高于生產成本， 而剩余產品的處理價低于生產成本， 從而保證供應商和零售商的有限利潤。

第二式假定期權的購買價格和執行價格之和高于批發價格， 從而使零售商采用期權以獲得供應彈性的同時激勵零售商采取批發價格。

第三式假定在于保證期權機制的有效性，購買期權的價格要低于批發價與處理價之差，激勵零售商采用期權契約。

第四式假定在于保證相對于現貨市場而言， 期權對零售商而言更具有吸引力。

二、基本的報童模型(Newsboy model)

首先考慮在沒有采用期權情況下的報童模型中零售商和供應商的最優決策以及供應鏈的整體利潤。根據經典報童模型，

供應商的期望利潤為:∏s=T-cQ；

零售商的期望利潤為:∏r=pS(Q)+vI(Q)-lL(Q)-T；

供應鏈總利潤為:∏=∏s+∏r。

1.集中決策型供應鏈決策模型

在集中決策型供應鏈中，供應商和零售商猶如一個企業，不存在“雙邊際效應”，它們均以供應鏈利潤最大化為決策目標。供應鏈總利潤為：

;

令，。QI即為在集中決策型供應鏈中零售商的最優訂貨量。

2.分散決策型供應鏈決策模型

在分散決策型供應鏈中，由于自私行為的存在，零售商以最大化其自身利潤為目標。零售商的期望利潤為：

;

。

令，。Qr即為在分散型決策供應鏈中零售商的最優訂貨量。因為c≤w，所以，Qr≤QI，表明分散型決策供應鏈中零售商的最優訂貨量要低于集中型決策供應鏈中零售商的最優訂貨量。

三、基于期權的報童模型(Newsboy model based on option)

1.基于期權的集中決策型供應鏈決策模型

在報童模型的基礎上，首先研究基于期權的集中決策型供應鏈最優決策。在集中決策型供應鏈中，供應鏈總利潤為：

;

令，。

顯然，Q+M=Q，說明在集中決策型供應鏈中引入期權機制，零售商的訂貨量與期權購買量之和達到最優訂貨量。表明期權機制在集中決策型供應鏈中沒有發揮作用，這與實際情況也是一致的，因為這時供應商與零售商是利益共同體，它們均以供應鏈總利潤最大為目標。如果要發揮作用，只有當貨物在供應商與零售商之間庫存成本不同時，調整訂貨量與期權購買量之間的比例。如果供應商的單位庫存成本低于零售商，加大期權購買量的比例，反之，加大訂貨量的比例。

2.基于期權的分散決策型供應鏈決策模型

在分散決策型供應鏈中，零售商對供應商的總支付

。

零售商的利潤為:

;

;

;

。

令，，，

，

Q*、M*即為零售商在價格政策(w，c0，ce)下的最佳訂貨量和期權購買量。

供應商的利潤為:

。

;

。

令，，，。

供應鏈的總利潤為:

。

;

。

令，，，

要使Q+M=Q*+M*，

，而此時，與也相等。表明在分散型決策供應鏈中，當期權價格與期權執行價滿足這一等式時，理性的零售商選擇的訂貨量和期權購買量可使得零售商、供應商及整個供應鏈均實現了利潤最大化，從而實現帕累托最優。

四、結語

本文將作為金融衍生工具的期權機制引入到供應鏈的協調過程中， 通過研究發現，在分散決策型供應鏈中引入期權機制，通過制定合適的期權購買價格和執行價格，可使零售商產生協作的愿望，在供應鏈的整體利潤達到最優的同時增加零售商和供應商的利潤，從而實現帕累托最優。這一研究可以為供應鏈協調機制研究找到一種新的工具。當然本文僅研究了單周期、單供應商和零售商的情況，并且假定市場信息是公開的，然而在實踐中，供應鏈的結構要復雜得多， 因此，可以將基于期權的報童模型研究擴展到供應商和零售商之間是多對一、一對多的情況，甚至是多周期、多產品種類、多層次的供應鏈網絡結構，擴展到信息不對稱情形。

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