經濟模型中帶虛變量回歸分析正規方程的解

[摘要] 本文介紹了一種求解經濟模型中帶虛變量回歸分析正規方程的方法，其基本思想是借助正規方程系數矩陣自身性質對方程的解進行分析并分步求解，通過解的結構的分析使求解過程細化、可行。實踐證明這一求解理論使經濟模型中帶虛變量回歸分析中正規方程可解。

[關鍵詞] 解 正規方程 虛變量

一、引言

經濟模型中帶虛變量回歸分析的正規方程的系數矩陣不是滿秩的，因此無法通過克萊姆法則求解，這就給解正規方程帶來很大不便。那么，這類正規方程解的構成是怎樣的形式，具體又如何求解，這就是本文所要解決的問題，在這里求解過程主要是借助正規方程系數矩陣自身所具備的一些特殊的優越性質，深入分析方程解的結構，進而求解的。

二、正規方程的導出

1.反應矩陣

(1)反應

經濟模型中當自變量以虛變量出現時，以i代表樣本，j代表自變量，k代表虛變量水平，用變量表示第i個樣本第j個自變量取第k個水平的反應，即：

(2)反映矩陣

將有n個樣本，m個自變量，其中第j個自變量有rj個水平的反應表寫成矩陣的形式稱為反映矩陣，記為：

;

矩陣中元素不為0即為1。

2.正規方程導出

(1)方程的導出

設n表示樣本容量；有m個自變量，其中有個水平，;這些變量與因變量y有統計的線性關系；是依賴于第j個自變量的待估參數；是誤差，假定相互獨立且同分布；再設:

，

，則線性關系式可記為： ，其矩陣形式為：，現在運用回歸分析中最小二乘法原理[4]對進行估計，若要使殘差平方和最小，則令：

可得到：

其中和，整理得：由所設向量將方程轉化成矩陣形式：此方程即正規方程。

(2)方程的性質

①正規方程的系數矩陣是非滿秩的。

②正規方程是相容的，即正規方程一定有解。

③正規方程中對各個自變量相應的系數之和皆相等。

即若：代表正規方程中第i個方程，第j個自變量，對應的系數，則有：

三、正規方程的解

1.正規方程的特解

(1)正規方程系數矩陣的秩

由前面推導得正規方程系數矩陣是行列的非滿秩的矩陣，并且，m個自變量的反應矩陣至少有m個列向量線性相關，那么若m-1刪去列后其秩小于等于。為便于推導，不妨將其秩暫設為。

(2)正規方程的特解

正規方程系數矩陣秩設為．求解時，先刪去第j個自變量第一個水平所對應的方程，共計m個，再令后，余下的方程系數矩陣就是滿秩的了，可通過克萊姆法則求解得：

使得成立，其中稱為正規方程特解。

2.正規方程的通解

(1)正規方程任意解B%

由前(2)方程的性質，正規方程系數矩陣是非滿秩且正規方程相容，那么正規方程一定有解且有無窮多組解，現設B%為正規方程任意一組解，則滿足

其中：

(2)方程的解

其中：計r1個；計r2個；計rm;共計個。

將代入齊次方程中，若設系數矩陣第i行表為：

由正規方程性質（3）有：

使齊次方程成立也即為齊次方程的解。

(3)正規方程的通解

記正規方程的通解為，那么由前，那么有：，即為齊次方程的解而也是的解，所以的通解可以表示為：，形式，其中同上所設。

即正規方程通解為：

四、小結

經濟模型中帶虛變量正規方程系數矩陣是非滿秩的，但又一定有解。求解過程中可以分兩步進行，首先，將正規方程系數矩陣降節后轉化成滿秩矩陣再使用克拉姆法則求其特解;其次，借助正規方程中各個自變量相應系數之和皆相等的特殊性質與任意解B%，可找到正規方程所對應齊次方程的解；最后，將特解與齊次方程解加和即得正規方程通解。

參考文獻：

[1]李子奈潘文卿:計量經濟學[M].北京：高等教育出版社，55～67

[2]張桂喜馬立平:經濟預測與決策[M].北京：首都經濟貿易大學出版社，97～113