解題教學(xué)與能力培養(yǎng)

摘要： 培養(yǎng)學(xué)生的解題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)。數(shù)學(xué)思維過(guò)程是學(xué)生通過(guò)解題過(guò)程中發(fā)展成熟的。本文就解題能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維過(guò)程的建立之間的關(guān)系談?wù)剮c(diǎn)認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思維 解題能力

數(shù)學(xué)的思維的本質(zhì)是掌握數(shù)學(xué)概念，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力實(shí)質(zhì)是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的體現(xiàn)。下面就在教學(xué)實(shí)際中應(yīng)該通過(guò)哪些途徑有效地進(jìn)行解題能力的培養(yǎng)來(lái)提高學(xué)生的思維能力談?wù)剮c(diǎn)認(rèn)識(shí)。

1.例題講解注重方法與分析能力

高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的教學(xué)過(guò)程是講解例題，例題是數(shù)學(xué)教學(xué)中傳授知識(shí)、展示數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生能力的重要載體。學(xué)生解題往往依賴教師講解例題的解題模式、思路和步驟，力圖實(shí)現(xiàn)解題的類(lèi)化，學(xué)生的思維往往是通過(guò)模仿教師的思維逐漸形成的。由于數(shù)學(xué)知識(shí)信息的錯(cuò)綜復(fù)雜，怎樣才能揭示知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律，寓思維方法的培養(yǎng)于解題教學(xué)之中，是數(shù)學(xué)教師的一個(gè)重要任務(wù)。學(xué)生在課堂上最關(guān)心的是教師如何進(jìn)行分析探索的，解題思維是如何展開(kāi)的，解題方法是如何確定的，思維障礙是如何突破的。這就是要求教師在解題時(shí)充分暴露自己的思維過(guò)程，展示數(shù)學(xué)思維過(guò)程中的每一個(gè)層次的環(huán)節(jié)，使學(xué)生不僅清楚怎么做，而且明白為什么這樣做，否則教師的分析非常透徹，學(xué)生總覺(jué)得神秘莫測(cè)；教師以為易如反掌，學(xué)生卻難于登天；教師津津樂(lè)道，而學(xué)生如入云霧，不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，也起不到應(yīng)有的數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

例1：二次函數(shù)f（x）=x +ax+3在區(qū)間［-1，1］上的最小值為-3，求實(shí)數(shù)a的值。這是二次函數(shù)在給定的區(qū)間上的最小值問(wèn)題，基本思路是判定二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置值，求出參數(shù)的值。題目涉及二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)，以及分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想，本題的關(guān)鍵是通過(guò)已知和結(jié)論的分解轉(zhuǎn)化，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點(diǎn)或圖像頂點(diǎn)的函數(shù)問(wèn)題，即f（-1）=-3，或f（-a/2）=-3或f（1）=-3。難點(diǎn)是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，即-a/2＜-1，-1≤-a/2≤1，-a/2＞1是怎么確定的，教師在探討時(shí)要緊緊圍繞上述步驟進(jìn)行分析。二次函數(shù)的圖像是一條開(kāi)口向上的拋物線，其對(duì)稱(chēng)軸x=-a/2雖然不定，但與給定的區(qū)間［-1，1］有且僅有3種位置關(guān)系：當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x=-a/2在區(qū)間［-1，1］的左側(cè)，即-a/2＜-1，亦即a＞2時(shí)，二次函數(shù)的最小值只能在區(qū)間的左端點(diǎn)處取得，從而有f（-1）=4-a=-3，得a=7；當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x=-a/2在區(qū)間［-1，1］上，即-1≤-a/2≤1，亦即-2≤a≤2時(shí)，二次函數(shù)的最小值只能在其頂點(diǎn)處取得，從而有f（-a/2）=（12-a ）/4=-3，得a=±2 ，與-2≤ａ≤2矛盾，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸ｘ=-ａ/2在區(qū)間［-1，1］的右側(cè)，即-a/2＞1，亦即ａ＜-2時(shí)，二次函數(shù)的最小值只能在區(qū)間的右端點(diǎn)處取得，從而有f（1）=4+a=-3得a=-7，綜上可得a=±7。這樣的分析學(xué)生對(duì)解題的整個(gè)思路過(guò)程才能有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握才能更加透徹、牢固。

2.解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)的解題能力主要突出在數(shù)學(xué)的思維能力上，所以學(xué)生解題能力的培養(yǎng)必須與數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)以及一般解題方法的教學(xué)緊密結(jié)合起來(lái)。因此在教學(xué)實(shí)際中，應(yīng)該采用以下方法。

首先，注重“三基”教學(xué)，即基本理論、基本技能和基本方法的教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)中的概念、定理、公式、法則等的教學(xué)，要求學(xué)生做到理解、熟練。要求學(xué)生弄清概念的內(nèi)涵和外延，弄清概念與概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，準(zhǔn)確、透徹地理解概念，能用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)敘述這些概念，也能用自己的通俗語(yǔ)言來(lái)解釋這些概念，重要的定義、定理要背熟，熟練運(yùn)用概念。概念教學(xué)中的解題能力的培養(yǎng)，必須讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的目的和作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求和欲望和學(xué)習(xí)積極性；讓學(xué)生有充分的時(shí)間去閱讀課本，在閱讀過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，養(yǎng)成獨(dú)立鉆研的習(xí)慣；教師要有意識(shí)地給學(xué)生指出解決問(wèn)題應(yīng)觀察的重點(diǎn)和思維中心，便于學(xué)生思考；圍繞這一觀察重點(diǎn)與思維中心，讓學(xué)生提出問(wèn)題，教師要善于歸納，啟發(fā)學(xué)生的思路，引導(dǎo)得出正確的結(jié)論的途徑。

其次，從學(xué)生的思維能力出發(fā)，有針對(duì)性地進(jìn)行解題教學(xué)。學(xué)生解題，仍較依賴?yán)}的解題模式、思路和步驟，力圖實(shí)現(xiàn)解題的類(lèi)化。因此，例題教學(xué)要突出其目的性、啟發(fā)性、示范性、延伸性、規(guī)律性，使學(xué)生從中學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，提高思維決策能力。解決好例題的教學(xué)，為學(xué)生思維品質(zhì)和解題能力的提高起積極的促進(jìn)作用。教師在教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)發(fā)現(xiàn)法學(xué)習(xí)，理解前人是如何看待問(wèn)題，又是如何找出解決問(wèn)題的辦法。這一思維進(jìn)程能給學(xué)生以親身體驗(yàn)，幫助他們認(rèn)識(shí)和理解知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的必然的因果關(guān)系，從中領(lǐng)悟到分析、思考和解決問(wèn)題的思想方法和步驟，培養(yǎng)和提高學(xué)生的解題能力。學(xué)生在解題過(guò)程中難免會(huì)碰到難題，教師必須要幫助他們分析障礙原因，矯正他們?cè)姓J(rèn)識(shí)上的偏差，充實(shí)、完善他們對(duì)問(wèn)題分析、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，引導(dǎo)他們解決問(wèn)題。因此，教師在解決問(wèn)題時(shí)，要注重學(xué)生原有思路的分析，設(shè)身處地地了解學(xué)生面臨的困難，抓住疑難的本質(zhì)，積極尋找解決問(wèn)題的契機(jī)，拓展學(xué)生解決問(wèn)題的方法。

第三，讓學(xué)生把握解題方法，探究數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，存在著共同的客觀規(guī)律，而數(shù)學(xué)的解題思維起步必須遵循著一般的活動(dòng)規(guī)律。教學(xué)中應(yīng)突出數(shù)學(xué)思維過(guò)程，要求學(xué)生學(xué)會(huì)在解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維能力。解題思路的發(fā)現(xiàn)，歸根到底是數(shù)學(xué)解題方法的發(fā)現(xiàn)。教學(xué)中要注意基本思想方法的分析和評(píng)述，使學(xué)生掌握綜合法、分析法、比較法、反證法、窮舉法、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法等，在解特殊方程時(shí)，要掌握換元法、圖像法、數(shù)學(xué)模型法等。在運(yùn)用這些基本方法時(shí)，還有許多基本的規(guī)律。例如，立體幾何中，證明直線與平面的位置關(guān)系，一般思路為：（1）證線面平行，先證線線平行；（2）證面面平行，先證線面平行；（3）證線面垂直，先證線線垂直；（4）證面面垂直，先證線面垂直等。合理的教學(xué)方法是培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力的主要途徑。

總之，培養(yǎng)學(xué)生解題能力是一個(gè)長(zhǎng)期系統(tǒng)的工程，是數(shù)學(xué)教師的整個(gè)教學(xué)體系完整的內(nèi)容。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”