大膽猜想 仔細驗證

在一節數學活動課上，蔣老師出了這樣兩道題：

＋＋ ＝？＋＋＋ ＝？

同學們很快就算出了結果：

＋＋＝＋＋＝ ；

＋＋＋＝＋＋＋＝。

蔣老師要求同學們繼續觀察算式有什么特點。眼尖的小明立即發現了幾個加數的關系，站起來，說：“后面一個數是前面一個數的一半，或者說前一個分數是后一個分數的兩倍。”蔣老師滿意地點了點頭，隨后在黑板上畫了正方形圖（如下圖）：

小明看圖后陷入了沉思：如圖1中所有陰影部分的面積就是＋＋的和，而只要加上空白部分 ，就是大正方形的面積“1”，所以只要用1－ 就可以得到＋＋的和，1－＝。同樣，看圖2很容易發現：求 ＋＋＋的和，就是求陰影部分的面積，而陰影部分的面積等于1－＝。

蔣老師接著提問：從圖中可以發現什么規律呢？

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文