圓錐曲線中最值問題的解法探討

最值問題是數(shù)學(xué)中的典型問題，解最值問題的基本方法一般有兩種：幾何法、代數(shù)法。具體可利用直接法、二次函數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性、重要不等式、數(shù)形結(jié)合、三角函數(shù)有界性等方法，還可以利用向量、導(dǎo)數(shù)等。圓錐曲線中最值問題和數(shù)學(xué)中其他最值問題一樣，解法靈活，綜合性較強(qiáng)。解圓錐曲線中最值問題不僅要緊緊把握圓錐曲線的定義，而且要善于綜合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識，同時(shí)要了解常見的圓錐曲線中最值問題及解法：

1. 圓錐曲線中本身存在的最值問題，如橢圓上兩點(diǎn)最大距離為2a，雙曲線上兩點(diǎn)最小距離為2a，拋物線上頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最近……

2. 圓錐曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，常轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次函數(shù)最值解決，有時(shí)也化為三角函數(shù)的最值問題，利用三角函數(shù)的有界性來解。

3. 圓錐曲線上的點(diǎn)到定直線的距離的最值解法同上或用平行切線法。

4. 實(shí)際應(yīng)用問題，主要要注意①選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②將實(shí)際問題中的條件借助坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來；③根據(jù)需要把最值問題化為函數(shù)最值問題。

下面具體探討求圓錐曲線最值問題的兩種解法。

一、 幾何法

（2）由橢圓的第一定義，設(shè)C為橢圓的左焦點(diǎn)，則|PA|=2a-|PC|

∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)

小結(jié)：從橢圓的定義出發(fā)，結(jié)合圖形思考，可利用幾何法將問題轉(zhuǎn)化為平面中的問題：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊。這種最值解法同樣在雙曲線、拋物線中也有類似應(yīng)用。

二、 代數(shù)法

例2： 在拋物線y=4x2上求一點(diǎn)，使它到直線y=4x-5的距離最短。

小結(jié)：①用點(diǎn)到直線的距離公式化為二次函數(shù)最值求解。②如用平行切線法雖然形象直觀，但較麻煩，用目標(biāo)函數(shù)法雖然抽象但簡潔易解。

（1）|PF1||PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值。

解：設(shè)|PF1|=m， |PF2|=n， 則m+n=2a=4，

小結(jié)：利用定義，轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)基本不等式來求最值。

綜上，圓錐曲線中的最值問題解法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來做非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用均值不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值。

最值問題是平面解析幾何中的一個(gè)既典型又較綜合的問題，圓錐曲線又是解析幾何中的重要內(nèi)容，它的最值問題求法比較多，具體問題應(yīng)具體加以分析。解決圓錐曲線中的最值問題，必須熟練并準(zhǔn)確地掌握圓錐曲線的定義、性質(zhì)，靈活運(yùn)用下列數(shù)學(xué)思想方法：①函數(shù)的思想：根據(jù)解題需要，常把一個(gè)參數(shù)看做另一個(gè)參數(shù)的函數(shù)。②數(shù)形結(jié)合的思想方法：“數(shù)缺形時(shí)不直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，圓錐曲線中的很多數(shù)量關(guān)系可在圖形中表現(xiàn)，畫圖可以打開思路。③轉(zhuǎn)化的思想：把復(fù)雜的化為簡單的，不熟悉的化為熟悉的。

（靖江市第三中學(xué)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。