如何學好絕對值

絕對值是中學數學中的重要內容，為幫助同學們學好這一內容，現將學習要求歸納為以下幾個方面：

一、要正確理解絕對值的意義

數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值，數a的絕對值記作|a|.求一個數a的絕對值，就是求它到原點的距離.因為距離不可能是負數，所以任何一個數的絕對值都是非負數，即對于有理數a，a≥0.絕對值的意義從數軸上看更是一目了然.一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.用數學符號表示為：當a＞0時，a=a；當a

=0時，a=0；當a＜0時，a=-a.

二、要熟練掌握絕對值的性質

1.任何一個有理數都有惟一的絕對值，且是一個非負數，即a≥0.

2. 最小的絕對值是0，但沒有最大的絕對值.

3.絕對值等于它本身的數是正數或0，即若a=a，則a≥0.

4.絕對值為某一正數的有理數有兩個，它們互為相反數.

5. 若幾個數（或代數式）的絕對值之和為0，則每個數的絕對值都為0，即每個數都為0.例如，若a+ b+c

=0，則a=0， b=0，c=0，從而有a=b=c=0.

6.若a＞0，則＝＝１；若a

＜0，則＝＝－１.

三、要靈活運用絕對值的知識

1.利用絕對值來理解相反數的意義

從絕對值的角度來看，絕對值相等的兩個不同的數互為相反數，0的相反數為0.結合絕對值，我們可以更深刻地理解相反數的含義：位于原點的兩旁，并且絕對值相等.兩個數互為相反數，其絕對值必相等；若兩個數的絕對值相等，那么，這兩個數有兩種情況：相等或互為相反數.

例1判斷正誤：離開原點的距離是4個單位長度的點應有兩個，分別在原點的左右兩邊，表示的數為-4和4.

（）

答：√.

2.利用絕對值的性質解決問題

例2（2007年佛山市中考試題）如圖1，M，N，P，R分別是數軸上四個整數所對應的點，其中有一點是原點，并且MN=NP=PR=1.數a對應的點在M與N之間，數b對應的點在P與R之間，若a＋ b＝３，則原點是（）.

A.M或RB.N或P

C.M或ND.P或R

分析：解決本題的關鍵是先分類，再運用絕對值概念去掉絕對值符號來判斷.由于M，N，P，R分別是數軸上四個整數所對應的點，并且MN=NP=PR

=1，若Ｍ為原點，此時ａ、ｂ都是正數，則a+ b= ａ+ｂ，其值可能為3；若Ｎ為原點，此時ａ為負數，ｂ為正數，則a+ b= -ａ+ｂ，其值不可能為3；若Ｐ為原點，此時ａ為負數，ｂ為正數，則a+ b= -ａ+ｂ，其值也不可能為3；若Ｒ為原點，此時ａ、ｂ均為負數，則a+ b= -ａ+（-ｂ），其值可能為3.因此，選Ａ.

例3（哈爾濱市中考試題）若x的相反數是3，y=5，則x+y的值為（）.

A.-8B.2C.8或-2D.-8或2

分析：由相反數和絕對值的概念可知，x=-3，y=5或y=-5.因此，要分類求解：當x=-3，y=5時，x+y=-3+5=2；當x=-3，y=-5時，x+y=-3+（-5）=-8.應選D.

例4（“迎春杯”初一數學競賽題）若a=1， b=2，c=3，且a＞b

＞c，則（a+b-c）２＝.

分析：由a=1， b=2，c=3，得a=±1，b=±2，c=±3.因為a＞b＞c，所以a=1，b=-2，c=-3或a=-1，b=-2，c=-3.因此a+b-c=2或0，即（a+b-c）2=4或0.

3.利用絕對值的知識進行探索

例5已知x-1=2，求x的值.

分析：數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值.求一個數a的絕對值，就是求它到原點的距離.因此求滿足x-1=2的x的值，就是求到1的距離等于2的x的值，由圖2知，這樣的x有兩個，它們分別是x=3和x=-1.

例6設a＜b＜c，那么y=x-a

+x-b+x-c的最小值是.

分析：根據絕對值的意義及題設，在數軸上作出數a，b，c對應的點A、B、C，如圖3.數x對應的點與A、B、C三點的距離之和不可能小于AC的長，僅當數x對應的點與B重合時，y取得最小值AC，AC=c-a=c-a，即y最小值=c-a .