用向量法求二面角

摘要： 求二面角是空間幾何中的一類重要問題，也是高考命題的熱點，向量——解決幾何問題的利器，把不少復雜的幾何問題轉變為純代數運算，實現了“數”與“形”的有機統一。用向量法求角避免了因添加輔助線而造成的視角干擾和復雜的邏輯推理，且向量法解題對開闊學生解題思路，激發解題興趣，培養創新意識，大有裨益。

關鍵詞： 空間幾何 向量法 求二面角

一、 向量法求二面角的理論依據

定義1：如圖1，圖2，設m，n分別為平面α和β的法向量，則m和n的夾角θ與二面角α-l-β的平面角相等或互補。

定義2：設空間中兩個非零向量為ａ{x ，y ，z }，ｂ{x ，y ，z }，那么它們的夾角余弦是cosθ= = 。

定理1：空間中任一平面的方程是三元一次方程Ax+By+Cz+D=0，反之三元一次方程Ax+By+Cz+D=0必表示平面。

定理2：在平面方程Ax+By+Cz+D=0中，可取平面的一個非零法向量n={A，B，C}。

二、用向量法求二面角應用舉例

例1.如圖3，正方體ABCD—A B C D 中，求二面角B-A C-A。

分析：如圖3，二面角的一個半平面ACA 的法向量為 ，另一個半平面BCA 的法向量為 ，則法向量 ， 所成角大小即為二面角B-A C-A的大小或其補角。

解：建立如圖所示空間坐標系，設正方體的棱長為1，則A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），B （1，1，1），二面角的一個半平面ACA 的法向量為 =（1，1，0），另一個半平面BCA 的法向量為 =（0，-1，-1），得cos＜ ， ＞= =- ，由圖知，法向量 ， 所成二面角為二面角B-A C-A的補角，即二面角B-A C-A的大小為 。

例2. 如圖4，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC= ，求二面角A-PB-C的大小。

分析：將二面角轉化為兩個面的法向量所成的角或其補角求解。

解：作CD⊥AB于D，作AE⊥PC于E，易證：CD⊥平面APB，AE⊥平面PBC，所以， ， 分別是平面APB和平面PBC的一個法向量，建立如圖所示空間坐標系，則B（0，，0），A（1，0，0），E（ ，0， ），C（0，0，0）， = = ，即D分 的比是 ，可以求出D點的坐標是（ ， ，0）， =（ ，0，- ）， =（ ， ，0），| |= ，| |= ，所以，cos＜ ， ＞= = = ，故二面角的大小為arccos 。

例3. 如圖5，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°，求面APB與面CPB所成的二面角。

分析：先證 ⊥ ， ⊥ ，從而 ， 的夾角等于所求二面角的平面角。

解： 建立如圖5所示直角坐標系，其中O為坐標原點，x軸平行于DA，則P(0，0， )，B(0， ，0)，PB中點G的坐標為(0， ， )，連接AG，又知A（1， ，0），C（-2， ，0），因此得 =（1，- ， ）， =（0， ，- ）， =（-2，0，0），于是 #8226; =0， #8226; =0，所以， ⊥ ， ⊥ ， ， 的夾角等于所求二面角的平面角，于是cos＜ ， ＞= =- ，所以，所求二面角的大小為π-arccos 。

例4. 如圖6，三棱柱OAB-O A B ，平面OBB O ⊥平面OAB，∠O OB =60°，∠AOB=90°且OB=OO =2，OA= 。求：二面角O -AB-O的大小。

分析：根據題意利用二面角的定義，找出二面角的平面角，運用三角形的知識求解。

解：取OB的中點D，連結O D，則O D⊥OB，

∵平面OBB O ⊥平面OAB

∴O D⊥平面OAB

過點D作AB的垂線，垂足為E，連結O E，則O E⊥AB，

∴∠DEO 為二面角O -AB-O的平面角，

由題設得O D= ，sin∠OAB= = ，

∴DE=DB#8226;sin∠OBA= ，

∵在Rt△O DE中，tan∠DEO = = ，

∴∠DEO =arctan ，

即二面角O -AB-O的大小為arctan 。

小結

用此法計算二面角不需要作出二面角的平面角，從而避免了空間圖形的視角干擾，使較難的幾何問題巧妙得解（把幾何問題轉變成了純代數計算），思路明確，學生容易接受。

參考文獻：

［１］空間解析幾何.北京師范大學出版社.

［２］解析幾何.高等教育出版社.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”