高職數(shù)學(xué)概念教學(xué)探析

摘要： 數(shù)學(xué)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是判斷﹑選擇﹑推理的重要依據(jù)，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、法則的邏輯基礎(chǔ)。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是“雙基”教學(xué)的核心，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。正確地理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要前提。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)概念教學(xué)

從初中進(jìn)入高職院校的學(xué)生，部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，加上對(duì)基礎(chǔ)課考試的低要求，造成部分教師上課時(shí)重解題，輕概念，認(rèn)為學(xué)生只要能應(yīng)用數(shù)學(xué)概念和原理正確解題，就達(dá)到了教學(xué)的目的。對(duì)于數(shù)學(xué)概念，可以直接搬給學(xué)生或照本宣科。忽視了概念教學(xué)的重要性，一味地強(qiáng)調(diào)解題方法和技巧。這樣的教學(xué)只會(huì)使學(xué)生機(jī)械學(xué)習(xí)，造成數(shù)學(xué)概念與解題脫節(jié)的現(xiàn)象。為了幫助學(xué)生落實(shí)雙基，更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力，數(shù)學(xué)教師必須轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，更新教學(xué)模式。那么，作為高職院校的教師應(yīng)如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)呢？

一、注重概念的引入

1. 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型引入概念

數(shù)學(xué)概念既然表現(xiàn)為一種思維形式，它的產(chǎn)生離不開(kāi)現(xiàn)實(shí)世界，離不開(kāi)生活中的常識(shí)。從某一定意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)概念正是一系列常識(shí)精微化的結(jié)果。這種精微化的過(guò)程歷經(jīng)兩個(gè)階段：感性認(rèn)識(shí)階段和理性認(rèn)識(shí)階段［１］。形成準(zhǔn)確概念的首要條件，是使學(xué)生獲得十分豐富和合乎實(shí)際的感性材料，這就是感性認(rèn)識(shí)階段。其次在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)大腦加工——比較、分析、綜合、概括——形成概念。但概念高度抽象，難懂、難教和難學(xué)。因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，可密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，從實(shí)際問(wèn)題和學(xué)生熟悉的日常生活中的例子自然而然地引出概念，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)概念不是硬性規(guī)定的，而是與實(shí)際生活有密切聯(lián)系的。

（1）通過(guò)對(duì)實(shí)例的歸納、分析，引出概念。

多數(shù)數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實(shí)生活，是從生產(chǎn)、生活中抽象出來(lái)的。在實(shí)際的教學(xué)中，不應(yīng)把概念放在最前面。概念學(xué)習(xí)的基本方法是：呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者反映概念關(guān)鍵特征的典型例子，或者從兩個(gè)或更多的實(shí)際例子中提煉除出事物的共同特征［２］。例如：課本中，由火車(chē)站托運(yùn)行李按收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)收取托運(yùn)費(fèi)得分段函數(shù)分段函數(shù)，由細(xì)胞分裂得指數(shù)函數(shù)等等。

（2）通過(guò)觀察圖形，引出概念。

數(shù)學(xué)概念是客觀事物中數(shù)和形的本質(zhì)屬性的反映。數(shù)與形的相互結(jié)合，使感性材料的提供更為豐富。數(shù)與形的相互結(jié)合，能使概念教學(xué)形象生動(dòng)，學(xué)生易于理解和掌握，且印象較深。

例如：在講授函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可利用多媒體技術(shù)設(shè)計(jì)函數(shù)動(dòng)態(tài)變化的態(tài)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)y=2x-1，y=x ，y=x 的圖像，提出問(wèn)題：?jiǎn)栴}①：說(shuō)出函數(shù)圖象變化的趨勢(shì)。

通過(guò)觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)圖像有的呈逐漸上升的趨勢(shì)，有的呈逐漸下降的趨勢(shì)，有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升的趨勢(shì)，在另一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈下降的趨勢(shì)。

問(wèn)題②：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃圖像呈逐漸上升趨勢(shì)或逐漸下降趨勢(shì)。

學(xué)生討論得到：在某一區(qū)間內(nèi)，圖像呈逐漸上升趨勢(shì)的?圳當(dāng)x的值增大時(shí)，函數(shù)值y也增大；圖像呈逐漸下降趨勢(shì)的?圳當(dāng)x的值增大時(shí)，函數(shù)值y反而減小。函數(shù)的這種性質(zhì)稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)性。

（3）通過(guò)觀察實(shí)物，引出概念。

從初中進(jìn)入職高，幾何研究由二維平面過(guò)渡到三維空間。例如：在立體幾何的概念教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的墻壁、天花板、地面所在平面的各條交線，在直觀認(rèn)識(shí)空間兩條直線位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生歸納出兩條直線除相交、平行外的第三種位置關(guān)系：不平行、不相交，抽象出異面直線的本質(zhì)特征，概括出定義。又如在棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念教學(xué)中，可以通過(guò)多媒體先讓學(xué)生觀察各種各樣的柱體、錐體，臺(tái)體的實(shí)物模型，引導(dǎo)學(xué)生歸納出其定義。

2. 鞏固舊知識(shí)引入概念

數(shù)學(xué)概念具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，先前的概念往往是后續(xù)概念的基礎(chǔ)。皮亞杰在概念學(xué)習(xí)理論方面認(rèn)為概念教學(xué)的起步是在已有的認(rèn)知結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。因此，新概念教學(xué)中要想方設(shè)法喚起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)，要充分利用學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)，對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念適當(dāng)作一些結(jié)構(gòu)上的變化，建立起關(guān)于概念的恰當(dāng)?shù)男睦锉碚鳎@樣有利于促進(jìn)新概念的形成。

職高代數(shù)中部分概念是初中知識(shí)的引申與推廣。例如：引入函數(shù)概念時(shí)，可先讓學(xué)生說(shuō)出初中學(xué)過(guò)的函數(shù)定義，初中給出的函數(shù)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個(gè)取值，與唯一確定的函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來(lái)。然后提出問(wèn)題：如果從集合與映射的觀點(diǎn)出發(fā)，則對(duì)函數(shù)應(yīng)如何定義？學(xué)生通過(guò)思考、議論，得到，如果從集合與映射的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將原象集合中的每一個(gè)元素與象的集合中唯一確定的元素對(duì)應(yīng)起來(lái)。實(shí)際函數(shù)是描述變量之間依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)可用圖象、表格、解析式等表示，用集合與映射的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)也一樣，只不過(guò)敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，所以?xún)煞N函數(shù)的定義、本質(zhì)是一致的。

3. 運(yùn)用類(lèi)比引入概念

類(lèi)比是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。要教會(huì)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，抓住新舊知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系，有目的、有計(jì)劃地讓學(xué)生將有關(guān)新舊知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比。根據(jù)新舊知識(shí)在某些屬性上的相同或相似的結(jié)構(gòu)而引進(jìn)概念。例如：在等比數(shù)列的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生與等差數(shù)列進(jìn)行類(lèi)比：

①定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差（比）等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差（等比）數(shù)列。

通過(guò)分析比較，不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在一種同構(gòu)現(xiàn)象：差→和“+”↓ ↓積→積“×”，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握。

二、注重概念的理解

1. 弄清概念的本質(zhì)屬性

就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，理解概念顯得尤其重要。教師要根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念逐字逐句加以推敲、分析，多角度、多層次地剖析新概念，抓住概念的本質(zhì)。某些概念的定義中有些關(guān)鍵性的字眼不易被學(xué)生所理解，容易被忽視；某些概念的條件比較多，學(xué)生常顧此失彼，不易全面掌握；某些概念與它的鄰近概念相似，不易區(qū)別。對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解要防止產(chǎn)生誤差。例如：異面直線概念中，“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，通俗地說(shuō)，就是經(jīng)過(guò)這兩條直線無(wú)法作出一個(gè)平面，這條直線既不平行也不相交。不能把它誤解為：“分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”。在異面直線的概念中，“任何”是關(guān)鍵詞，漏掉這個(gè)詞，就變成“不同在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線”，實(shí)際上是縮小了概念的外延。另外對(duì)于“任何一個(gè)”這個(gè)詞，有的學(xué)生還會(huì)錯(cuò)誤的理解為：“無(wú)數(shù)個(gè)”，或者與“許多個(gè)”混淆。教師可用舉反例的方法來(lái)說(shuō)明。

2. 符號(hào)的理解與正確使用

用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示數(shù)學(xué)概念，既是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)概念本身就十分抽象，加上用符號(hào)表示，從而使概念更加抽象化，所以在概念的教學(xué)中要真正讓學(xué)生掌握概念符號(hào)的意義。例如：函數(shù)的解析表示法為y=f(x)。字母x表示“自變量”，字母f表示“由自變量x得到因變量（函數(shù)值）y的對(duì)應(yīng)法則”，y表示“因變量”。函數(shù)符號(hào)y=f(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示。f(x)是一個(gè)整體符號(hào)，它不表示“y等于f乘以x”，不滿(mǎn)足數(shù)與式的運(yùn)算法則。

三、注重概念的鞏固與應(yīng)用

通過(guò)概念的引入以及理解，學(xué)生對(duì)概念有了初步的認(rèn)識(shí)，要把課本知識(shí)變?yōu)樽约旱闹R(shí)，還要有一個(gè)反芻的過(guò)程，也就是及時(shí)地鞏固概念。當(dāng)學(xué)生對(duì)概念有了一定程度的理解之后，應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，在運(yùn)用中鞏固概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念，既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，又是進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的工具。如此往復(fù)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)的過(guò)程。通過(guò)實(shí)踐，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。在學(xué)習(xí)了概念之后，可以通過(guò)一些相應(yīng)的填空題、選擇題、判斷題，及時(shí)鞏固所學(xué)的概念。例如：學(xué)習(xí)了冪函數(shù)的概念后，可以通過(guò)下面的題來(lái)進(jìn)一步鞏固冪函數(shù)的概念。

判斷題：

概念的引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ)，概念的理解是概念教學(xué)的核心，概念的鞏固是概念教學(xué)的補(bǔ)充和完善。通過(guò)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)概念、理解概念、鞏固概念。學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤或思維活動(dòng)中遇到的障礙，往往是由于沒(méi)有正確理解、掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)概念而造成的。在概念教學(xué)中多花一些時(shí)間是值得的，因?yàn)橹挥姓嬲斫狻⒄莆樟烁拍睿拍芨玫貛椭鷮W(xué)生落實(shí)\"雙基\"，更好地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和本質(zhì)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］潘小明.概念理解重在建立恰當(dāng)?shù)男睦锉碚?數(shù)學(xué)通報(bào)，2000，9，封二～2.

［2］郭其俊.新課程背景下概念教學(xué)如何突破難點(diǎn).中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005，3，24.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”