巧用構造思想妙解數學難題

一元二次方程是初中數學的重要內容，而構造一元二次方程解題是初中數學的一種思想方法.有些問題，若用常規方法解比較困難，而根據其結構特點，巧妙構造一元二次方程，利用根與系數的關系或判別式，不僅能使問題化繁為簡，化難為易，迅速找到解題捷徑，收到事半功倍的奇效，而且有助于培養和強化同學們的數學遷移能力和化歸思想，提高數學思維品質.本文略舉幾例加以說明，供同學們參考：

一、求代數式的值

例1實數a，b，c滿足b=8-a，c2=ab-16，求a3+b3+c3的值.

解：由已知條件得a+b=8，ab=c2+16，

a，b可以看做是方程x2-8x+c2+16=0的兩根，又因為a，b為實數，

所以Δ=（-8）2

-4（c2+16）=-4c2≥0，

則4c2≤0，得c=0，

從而Δ=0，故方程有兩相等實數根，

所以有a=b=4，c=0，

因此a3+b3+c3=43+43+03=128.

二、證明代數不等式

例2正數a，b，c，x，y，z滿足條件a+x=b+y=c+z=k，求證：ax+by+cz＜k2.

證明：由a+x+（-k）=0，可知方程at2-kt+x=0必有實數根t=1，

從而Δ=（-k）2-4ac≥0，

即ax≤k2，

同理， by≤k2，cz≤k2，

∴ax+by+cz≤k2＜k2.

三、解方程組

例3解方程組x-y=2z2+xy+1=2.

解: 原方程組可轉化為x+（-y）=2x·（-y）=z2+1，

則x，-y可以看成關于t的一元二次方程t2-2t+z2+1=0的兩個根，

Δ=（-2）2-4（z2+1）=-4z2，

當 z≠0時，Δ＜0，原方程無解，

當z=0時，Δ= 0，t1=t2=1，

即x=1y=-1z=0.

四、證明幾何不等式

例4如圖，過正方形ABCD的頂點C作任意一條直線與AB、AD的延長線分別交于點E、F，求證：AE+AF≥4AB.

證明：連AC，設正方形ABCD的邊長為a，則由面積SΔAEF=SΔACF+SΔACE，得AE·AF=AF·CD+AE·BC=a（AE+AF）， 即AE·AF=a（AE+AF），

從而AE，AF是方程x2-（AE+AF）x+a（AE+AF）=0的兩實根，

所以Δ=（AE+AF）2-4a（AE+AF）≥0，

得AE+AF≥4a，即AE+AF≥4AB.

五、判斷三角形的形狀

例5已知：a，b，c是ΔABC的三邊且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ac，試判斷ΔABC的形狀.

解：將已知等式整理為關于a的一元二次方程a2-（b+c）a+b2-bc+c2=0，

∵a為實數，

∴Δ=（b+c）2-4（b2-bc+c2）≥0，

即-3（b-c）2≥0，

∴（b-c）2≤0，

則b-c=0，故b=c，

將b=c代入原等式整理得（a-c）2=0，

∴a=c，

從而a=b=c，

∴ΔABC是等邊三角形.

從以上幾例可以看出，根據問題的結構特點，巧構一元二次方程，利用根與系數的關系或判別式來解，確實能起到化難為易、事半功倍的作用.