明修棧道，暗渡陳倉

在數學問題的求解過程中，有時對一些未知量只需設出，而不必求出其值，我們稱這種方法為設而不求法.利用設而不求法解某些應用題，往往具有事半功倍之效，現舉例說明.

一、部分未知量設而不求

例1江堤邊一洼地發生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，若用2臺抽水機抽水，40分鐘可抽完；若用4臺抽水機抽水，16分鐘可抽完；若要在10分鐘內抽完水，則至少需要抽水機臺.

解：設開始抽水前已有水量為a，管涌每分鐘的涌水量為b，每臺抽水機每分鐘的抽水量為c，并設x臺抽水機抽完水需t分鐘，則有，

2×40c=a+40b①4×16c=a+16b②xtc=a+tb③t≤10 ④

①÷②，得a=80b⑤

將⑤代入②得c=b ⑥

把⑤、⑥代入③得t=⑦

把⑦代入④得≥10，

解得：x≥6.

所以，若要在10分鐘內抽完水，至少需抽水機6臺.

例2某一次考試共需做20道小題，做對一道得8分，做錯一道扣5分，不做得0分，某學生共得13分，那么這個學生沒做的有道小題.

解：設該生做對x道題，做錯y道題，沒做的題有z道，則x+y+z=208x-5y=13，

所以，8（x+y）=8x+8y=（13+5y）+8y=13（y+1），

即：8（x+y）=13（y+1），

因為13與8互質，所以，13整除（x+y），

又因為0＜x+y≤20，

因此，這個學生沒做的題有7道.

二、全部未知量設而不求

例3有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可運貨15.5噸，5輛大車與6輛小車一次可運貨35噸，求3輛大車與5輛小車一次可運貨多少噸？

解：設一輛大車與一輛小車一次可分別運貨x噸、y噸，根據題意得：

2x+3y=15.5 ①5x+6y=35②

①×7-② 得9x+15y=73.5③

③÷3得3x+5y=24.5，

即，3輛大車與5輛小車可運貨24.5噸.

例4某校購買5種教具A1、A2、A3、A4、A5的件數和用錢總數可列成下表：

那么，購買每種教具各一件共需元.

解：設購買教具A1、A2、A3、A4、A5各一件各需x1、x2、x3、x4、x5元，則有，

x1+3x2+4x3+5x4+6x5=1999 ①x1+5x2+7x3+9x4+11x5=2984 ②

①×2-②，得x1+x2+x3+x4+x5=1014，

因此，購買每種教具各一件共需1014元.