新意盎然的等腰三角形問題

綜觀各地中考試題不難發現，將等腰三角形和函數、格點、坐標系結合在一起的中考題經常出現，已成為熱門考點.現舉幾例予以說明，供同學們參考.

一、網格中的等腰三角形問題：

例1如圖1所示，A、B是4×5網格中的點，網格中的每個小正方形的邊長為1，請在圖中清晰標出使以Ａ、B、C為頂點的三角形是等腰三角形的所有格點C的位置．

解析：根據網格的特征及等腰三角形的有關知識易得，AB只能為一腰，且AB=，由勾股定理可知點C1、C2、C3符合要求（如圖2）．

例2如圖3，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（4，0）、（4，3），動點M、N分別從點O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連結MP，當兩動點運動了t秒時：

（1）P點坐標為（ ， ）（用含t的代數式表示）；

（2）記△MPA的面積為S，求S與t的函數關系式（0

（3）當t=秒時，S有最大值，最大值是；

（4）若點Q在y軸上，當S有最大值且△QAN為等腰三角形時，求直線AQ的解析式.

解析：（1）P的坐標為（4-t，t）；

（2）在△MPA中，MA=4-t，MA邊上的高為t，

∴S=SΔMPA=（4-t）·t，

∴S=-t2+t（0＜t＜4）；

（3）當t=2秒時，S最大值=；

（4）由（3）可知，當S有最大值時，t=2，此時N在BC的中點處，如圖4，

設Q（0，y），則有，

AQ2=OA2+OQ2=42+y2，

QN2=CN2+CQ2=22+（3-y）2，

AN2=AB2+BN2=32+22，

因為△AQN為等腰三角形，

①若AQ=AN，即42+y2=32+22，此時方程無解；

②若AQ=QN，即42+y2=22+（3-y）2，解得y=-；

③若QN=AN，即22+（3-y）2=32+22，解得y1=0，y2=6；

∴Q1（0，-），Q2（0，0），Q3（0，6），

當Q為（0，-）時，設直線AQ的解析式為y=kx-，將A（4，0）代入得4k-=0，

∴k=，直線AQ的解析式為y=x-，

當Q為（0，0）時，A（4，0）、Q（0，0）均在x軸上，直線AQ的解析式為y=0（或直線為x軸），

當Q為（0，6）時，Q、N、A在同一直線上， △ANQ不存在，舍去，

∴直線AQ的解析式y=x-或y=0.

二、坐標系與等腰三角形問題：

例3在直角坐標系中，已知點A、C的坐標分別為A（-2，0），C（0，-2），在坐標平面內是否存在點M，使AC為等腰三角形ACM的一邊，且底角為30°，若存在，請寫出符合條件的點M的坐標，若不存在，請說明理由.

解析：已知點A、C的坐標，即△AOC確定，又∵AC=4，∠ACO=30°， ∠CAO=60°，

由AC為等腰三角形ACM的一邊知AC既可以是腰，又可以是底邊，

①當AC為等腰三角形的腰時，可求得M坐標；

M1（0，2）， M2（-6，0），M3（-2，-4），M4（4，-2）；

②當AC為等腰三角形底邊時，可求得M坐標為： M5（0，-），M6（-2，-）；

所以，存在6個符合要求的點M：

M1（0，2）， M2（-6，0），M3（-2，-4），M4（4，-2），M5（0，-），M6（-2，-）.

三、函數中的等腰三角形問題：

1.一次函數與等腰三角形

例4如圖6，在直角坐標系中，一次函數y=x+2的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B.在x軸上是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點坐標，若不存在，請說明理由.

解析：由一次函數y=x+2求出交點A、B的坐標A（-2，0），B（0，2），

∴AB=4，∠OAB=30°，∠ABO=60°，

①當AB為等腰三角形的腰時，以A為圓心，AB為半徑畫弧交x軸于P1、P2，得P1（-4-2，0），P2（4- 2，0）；以B為圓心，BA為半徑畫弧交x軸于P3，得P3（2，0）；

②當AB為等腰三角形底邊時，作線段AB的垂直平分線交x軸于P4，利用∠OAB=30°，AB=4，求出AP4，由 AO=2，得OP4=，所以P4（-，0）；

綜上可知，P點坐標為:P1（-4-2，0），P2（4-2，0），P3（2，0），P4（-，0）.

2.二次函數與等腰三角形

例5如圖7，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A、D在拋物線上，連接OP、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否還存在點Q（除點M外），使得△OPQ也是等腰三角形，簡要說明理由.

解析：由于已知點O（0，0），P（2，4），故線段OP唯一確定.

理由：作OP的中垂線一定能與拋物線相交，或以P點為圓心，以OP為半徑畫弧也能與拋物線相交.

綜上可知，函數中的等腰三角形一般都已知其中兩點的坐標，所以一條邊已唯一確定，接下來可以分兩種情況討論：

①這條邊為等腰三角形的腰時，分別以已知的兩點為圓心，以這條邊的長度為半徑畫弧，求出第三個點的坐標；

②這條邊為等腰三角形底邊時，作這條邊的垂直平分線，求出第三個點的坐標.