以摸球為載體的概率中考題

概率是初中新課標數學教材的重要內容之一，因此概率問題一直是近年來命題的新亮點.命題者巧妙以摸球、拋硬幣、轉圓盤、抽撲克、摸卡片、翻象棋等同學們既熟悉又感興趣的事件為載體，設計成概率中考題，以考查同學們應用數學知識分析問題解決問題的意識和能力，現就08年以摸球為載體的概率中考題精選幾例解析如下，供同學們鑒賞:

例1（08年浙江省麗水市考題）已知一紙箱中裝有5個只有顏色不同的球，其中2個白球，3個紅球．

（1）求從箱中隨機取出一個白球的概率是多少？

（2）若往裝有5個球的原紙箱中，再放入x個白球和y個紅球，從箱中隨機取出一個白球的概率是，求y與x的函數解析式．

分析：因為“只有顏色不同的球”，所以從中任意摸出一個球的機會是等可能的，紙箱中共裝有5個球，其中2個白球，3個紅球．

根據公式:P隨機事件=

，易使問題獲解.

解：（1）取出一個白球的概率P==；

（2） ∵取出一個白球的概率P=，

∴ =，

∴5+x+y=6+3x，即y=2x+1，

∴y與x的函數解析式是y=2x+1．

評注：本例的第（2）問，不再是簡單的摸球求概率問題，要綜合運用概率、函數知識才能使問題獲解.

例2（08年遼寧省大連市考題）某活動小組為了估計裝有5個白球和若干個紅球（每個球除顏色外都相同）的袋中紅球接近多少個，在不將袋中球倒出來的情況下，分小組進行摸球試驗，兩人一組，共20組進行摸球實驗．其中一位學生摸球，另一位學生記錄所摸球的顏色，并將球放回袋中搖勻，每一組做400次試驗，匯兌起來后，摸到紅球次數為6000次．

（1）估計從袋中任意摸出一個球，恰好是紅球的概率是多少？

（2）請你估計袋中紅球接近多少個？

分析: 共分20組，每組做400次，共做了8000次試驗，摸到紅球共為6000次．根據在大量的試驗中，某個事件發生的頻率穩定于某一常數，可將此常數作為該隨機事件發生的概率.從而可以估計出從袋中任意摸出一個球，恰好是紅球的概率.

解:（1）從袋中任意摸出一個球，恰好是紅球的概率為=;

（2）設袋中紅球接近x個，根據概率公式，

可得方程：=，

解得x=15，

即可以估計出袋中紅球接近15個.

評注:隨機事件發生的可能性的大小可以通過大量的重復試驗去探索，當試驗次數很大時，隨機事件發生的頻率就會呈現出穩定性.在大量的試驗中，某個事件發生的頻率穩定于某一常數，則稱此常數為該隨機事件發生的概率.

例3（08年江蘇省揚州市考題） 一只不透明的袋子中，裝有2個白球和1個紅球，這些球除顏色外者都相同.

（1）小明認為，攪均后從中任意摸出一個球，不是白球就是紅球，因此摸出白球和摸出紅球是等可能的.你同意他的說法嗎？為什么？

（2）攪均后從中一把摸出兩個球，請通過列表或樹狀圖求兩個球都是白球的概率；

（3）攪均后從中任意摸出一個球，要使摸出紅球的概率為，應如何添加紅球？

分析：因為“這些球除顏色外者都相同”，所以從中任意摸出一個球的機會是等可能的，袋子中共裝有3個球，其中 2個白球和1個紅球.

解:（1）小明的說法是錯誤的.根據公式，摸出白球的概率是，摸出紅球的概率是，所以摸出白球和摸出紅球不是等可能的；

（2）樹狀圖如圖所示 :

根據樹狀圖可知，共可等可能地出現6種情況，而兩個球都是白球的情況有2次，所以摸到的兩個球都是白球的概率為P==；

（3）設應添加x個紅球，

根據概率公式，可得方程=，

解得x=3，

即應添加3個紅球，可使摸出紅球的概率為.

評注:“攪均后從中一把摸出兩個球”相當于兩次摸球，第一次摸球后不放回，再第二次摸球，所以在畫樹狀圖（或列表時）應注意這個問題問題.

例4（08年江蘇省宿遷市考題）在一只不透明的口袋里裝有紅、黃、藍3種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個，藍球有1個，現從中任意摸出一個是紅球的概率為．

（1）求袋中黃球的個數；

（2）第一次摸出一個球（不放回），第二次再摸一個小球，請用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；

（3）若規定摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，摸到藍球得1分，小明共摸6次小球（每次摸 個球，摸后放回）得20分，問小明有哪幾種摸法？

分析:（1）根據概率公式列方程求解；（2）根據題意正確畫出樹狀圖（或列表），得到兩次摸到都是紅球的概率.

解：（1）設袋中黃球有x個，根據概率公式，

可得方程:=，

解得x=1， 即袋中黃球有1個；

（2）樹狀圖如圖所示:

根據樹狀圖可知，共可等可能地出現12種情況，而兩個球都是紅球的情況只有2次，所以摸到的兩個球都是紅球的概率為P==；

（3）共有3種摸法：

第一種：紅球摸1次，黃球摸5次；

第二種：紅球摸2次，黃球摸3次，藍球摸1次；

第三種：紅球摸3次，黃球摸1次，藍球摸2次；

評注:本例的第（3）問，應用枚舉法，列舉出各種可能，篩選出滿足題意的3種摸法.