運動中兩圓位置關系探究

圓和圓的位置關系我們可以從兩個方面來探索，一是根據定義從公共點的個數，另一方面利用數形結合的思想——根據“圓心距與兩圓的半徑之間的關系”來判斷兩圓的位置關系，本文重點闡述第二個方面在解決運動中兩圓位置有關問題的應用.

一、其中的一個圓運動，另一個圓靜止

例1（08年河南省考題）⊙O從直線AB上的點A（圓心O與點A重合）出發，沿直線AB以1/s的速度向右運動（圓心O始終在直線AB上），已知AB=6cm，⊙O、⊙B的半徑分別為1cm、2cm，當兩圓相交時，⊙O的運動時間t（s）的取值范圍是多少？

分析：觀察圖形起始位置是外離的狀態，當⊙O向右運動時，動⊙O與定⊙B經歷外離→外切→相交→內切→內含→內切→相交→外切→外離的變化過程.所以兩圓相交有2個時間段，而且界于外切與內切兩個時刻之間，第1次外切時，動圓運動的路程為6-1-2=3cm，故運動的時間為3÷1=3秒；內切時，動圓運動的路程為6-1=5cm .因此初次兩圓相交時，⊙O的運動時間t（s）的取值范圍應為3

二、兩圓同時相向運動

例2（08年威海市考題）如圖1，點A，B在直線MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半徑均為1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）與時間t（秒）之間的關系式為r=1+t（t≥0）．

（1）試寫出點A，B之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數表達式；

（2）問點A出發后多少秒兩圓相切？

分析：（1）①當⊙A自左向右運動，且點A在點B的左側，由于⊙B靜止，點B位置不變，所以點A，B之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數表達式d＝11-2t（t的取值范圍為：0≤t≤5.5）；

②當⊙A自左向右運動，且點A運動到點B的右側，由于⊙B靜止，點B位置不變，所以點A，B之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數表達式為d＝2t -11（此時t的取值范圍為t＞5.5）；

（2）兩圓相切既可以外切也可以內切，外切時，內切時⊙A的左部與⊙B的左側，還可以⊙A右部與⊙B的右部內切，因此可分為如下4種情況：

①當兩圓第一次外切，由題意，可得11-2t=1+1+t，t=3；

②當兩圓第一次內切，由題意，可得11-2t=1+t-1，t=；

③當兩圓第二次內切，由題意，可得2t-11=1+t-1，t=11；

④當兩圓第二次外切，由題意，可得2t-11=1+t+1，t=13．

所以，點A出發后3秒、 秒、11秒、13秒兩圓相切．

三、兩圓在四邊形上同向運動問題

例3（08年泉州市考題）如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t（s）.

（1）t為何值時，四邊形APQD為矩形？

（2）如圖，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么t為何值時，⊙P和⊙Q外切？

分析：（1）因為四邊形APQD中有一個直角∠D=90°，欲使四邊形APQD為矩形，只需四邊形APQD為平行四邊形，即AP=DQ即可.

所以，當AP=DQ時，由AP∥QD，∠A=90°，得四邊形APQD為矩形，此時，4t=20-t，解得t=4（s），所以t=4（s）時，四邊形APQD為矩形.

（2）因為⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，根據“兩圓外切圓心距等于兩圓半徑之和”，所以，當PQ=4時，⊙P與⊙Q外切.

①如果點P在AB上運動，只有當四邊形APQD為矩形時，PQ=4，由（1），得t=4（s）；

②如果點P在BC上運動，此時t≥5，則CQ≥5，PQ≥CQ≥5>4，∴⊙P與⊙Q外離；

③如果點P在CD上運動，且點P在點Q的右側，可得CQ=t，CP=4t-24，當CQ-CP=4時，⊙P與⊙Q外切，此時t-（4t-24）=4，解得t=；

④如果點P在CD上運動，且點P在點Q的左側，即當CP-CQ=4時，⊙P與⊙Q外切，此時4t-24-t=4，解得t=.因為點P從A開始沿折線A-B-C-D移動到點D需要11（s），點Q從C開始沿CD邊移動到點D需20（s），而 <11，所以當t為4（s）、（s）、 （s）時，⊙P與⊙Q外切.

評注：本題創設了一個雙圓在矩形的邊上運動探究兩圓相外切的動態的問題情景，解決問題的關鍵在于抓住一個不變關系——圓心距等于兩圓半徑之和即PQ=4保持不變.然后再根據⊙P與⊙Q運動的相對位置進行分類探究，探索時應仔細分析考慮到各種可能的情況，切勿遺漏.

四、 類比“圓和圓位置關系”設計的正方形的運動問題

例4（08年臨汾市考題）如圖，已知正方形ABCD與正方形EFGH的邊長分別是4和2，它們的中心O1，O2都在直線l上，AD∥l，EG在直線l上，l與DC相交于點M，ME=7-2，當正方形EFGH沿直線l以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形ABCD也繞O1以每秒45°順時針方向開始旋轉，在運動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變．

（1）在開始運動前，O1O2=；

（2）當兩個正方形按照各自的運動方式同時運動3秒時，正方形ABCD停止旋轉，這時AE= ，O1O2=；

（3）當正方形ABCD停止旋轉后，正方形EFGH繼續向左平移的時間為x秒，兩正方形重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數表達式．

分析：（1）開始運動前 O1O2=O1M+ME+EO2，又因為EO2是正方形EFGH的對角線的一半，即EO2=EG=2，∴ O1M+ME+EO2=2+7-2+2=9．

（2）因為開始時O1E=7，所以當正方形ABCD繞O1以每秒45°的順時針方向開始旋轉，旋轉3秒時，點A正好落在直線 上（因為∠AO1D=135°），此時O1A=4，同時點E向左平移3個單位，此時AE=0.

（3）當正方形ABCD停止運動后，正方形EFGH繼續向左平移時，與正方形ABCD重疊部分的形狀也是正方形.重疊部分的面積y與x之間的函數關系應分4種情況：

①如圖1，當 0≤x<4時，因為EA=x，所以y與x之間的函數關系式為y=；

②如圖2，當4≤x<8時，y與x之間的函數關系式為y=（2）2=8．

③如圖3，當8≤x<12時，因為CG=12-x，所以y與x之間的函數關系式為y==x2-12x+72．

④當 x≥12時，y與x之間的函數關系式為y=0．

評注：本題主要考查四邊形的基礎知識及同學們應用運動觀點采進行分析，并通過觀察、動手操作等活動獲得數學猜想的能力和分類討論、數形結合的思想方法.