利用數(shù)學(xué)知識 解決實(shí)際問題

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題，常常需要在數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問題之間構(gòu)建一個橋梁來加以溝通，這個橋梁就是數(shù)學(xué)模型．現(xiàn)以2008年部分中考題為例，加以說明數(shù)學(xué)建模在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用.

一、構(gòu)建方程(組)模型

例1（08德州市考題）為迎接2008年奧運(yùn)會，某工藝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志“中國印”和奧運(yùn)會吉祥物“福娃”.該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運(yùn)會標(biāo)志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3運(yùn)會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒.該廠購進(jìn)甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進(jìn)原料全部用完，求該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會吉祥物各多少套？

分析：本例可通過構(gòu)建方程組模型解決．

解：設(shè)生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志x套，生產(chǎn)奧運(yùn)會吉祥物y套.根據(jù)題意，得

4x+5y=20000 ①3x+10y=30000 ②

①×2-②得：5x=10000，

∴ x=2000．

把x=2000代入①得：5y=12000．

∴ y=2400．

答：該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志2000套，生產(chǎn)奧運(yùn)會吉祥物2400套

二、構(gòu)建不等式(組)模型

例2（08佛山市考題）某地為四川省汶川大地震災(zāi)區(qū)進(jìn)行募捐，共收到糧食100噸，副食品54噸. 現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批貨物全部運(yùn)往汶川，已知一輛甲種貨車同時可裝糧食20噸、副食品6噸，一輛乙種貨車同時可裝糧食8噸、副食品8噸.

（1）將這些貨物一次性運(yùn)到目的地，有幾種租用貨車的方案？

（2）若甲種貨車每輛付運(yùn)輸費(fèi)1300元，乙種貨車每輛付運(yùn)輸費(fèi)1000元，要使運(yùn)輸總費(fèi)用最少，應(yīng)選擇哪種方案？

分析：由于甲、乙兩種車輛的載重量一定知的，故可通過設(shè)未知數(shù)構(gòu)建不等式模型，確定最佳方案.

解：（1） 設(shè)租用甲種貨車x輛，則乙種貨車為y輛.

依題意，得：20x+8（8-x）≥1006x+8（8-x）≥54，

解不等式組，得3≤x≤5，

這樣的方案有3種：甲種貨車分別租3，4，5輛，乙種貨車分別租5，4，3輛；

（2）總運(yùn)費(fèi)s=1300x+1000（8-x）=300x+8000，

因?yàn)閟隨著x增大而增大，所以當(dāng)x=3時，總運(yùn)費(fèi)y最少，為8900元.

三、構(gòu)建函數(shù)模型

例3（08茂名市考題）我市某工藝廠為配合北京運(yùn)，設(shè)計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷．

經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

（1）把上表中x、y的各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-成本總價）

（3）當(dāng)?shù)匚飪r部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？

分析：先由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，它表示的是銷售量與單價之間的關(guān)系，再由利潤公式求得利潤的函數(shù)，并求它的最大值.

解：（1）畫圖如右圖；

由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0），

∵這個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（30，500），（40，400）這兩點(diǎn)，

∴ 500=30k+b400=40k+b，解得k=-10b=800，

∴函數(shù)關(guān)系式是：y=－10x+800；

（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得：

W=（x－20）（－10x+800）

=－10 x2+1000 -16000

=－10（x－50）2 +9000

∴當(dāng)x=50時，W有最大值9000，

所以，當(dāng)銷售單價定為50元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元；

（3）對于函數(shù) W=－10（x－50）2+9000，當(dāng)x≤45時，

W的值隨著x值的增大而增大，

∴銷售單價定為45元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大．

點(diǎn)評：函數(shù)揭示了現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和運(yùn)動、變化規(guī)律．對于現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的最優(yōu)化問題，如用料最省、成本最低、利潤最大等，可以構(gòu)建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

四、構(gòu)建幾何模型

例4（08河北省考題）在一平直河岸l同側(cè)有A，B兩個村莊，A，B到l的距離分別是3km和2km，AB=a（km）（a＞1）.現(xiàn)計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水．

方案設(shè)計

某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于點(diǎn)P）；圖2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為d2，且d2=PA+PB（km）（其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于l對稱， 與A'B交l于點(diǎn)P）．

觀察計算

（1）在方案一中， d1= km（用含a的式子表示）；

（2）在方案二中，小宇為了計算d2的長，作了如圖3所示的輔助線，請你按小宇同學(xué)的思路計算，d2=km（用含a的式子表示）．

探索歸納

（1）①當(dāng)a=4時，比較大小：d1d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②當(dāng)a=6時，比較大小：d1d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）請你參考下邊方框中的方法指導(dǎo)，就a（當(dāng)a＞1時）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？

分析：本題可化為線段最短問題，可通過構(gòu)建軸對稱幾何模型，最比較線段長度的大小.

解：（1）a+2；（2）．

探索歸納

（1）①＜；②＞；

（2）d12-d22=（a+2）2-（）2=4a-20，

①當(dāng)4a-20>0，即a>5時，d12-d22>0，∴d1-d2>0，d1>d2；

②當(dāng)4a-20=0，即a=5時，d12-d22=0，∴d1-d2=0，d1=d2；

③當(dāng)4a-20<0，即a<5時，d12-d22<0，∴d1-d2<0，d1

綜上可知：當(dāng)a>5時，選方案二；

當(dāng)a=5時，選方案一或方案二；

當(dāng)1